解题方法
1 . 某种鱼苗育种基地，饲养员每隔两天观察并统计育种池内鱼苗的尾数，统计结果如下表：
(1)若y与x之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
(2)根据（1）中所求的线性回归方程，估计第30天时育种池内鱼苗的尾数（四舍五入精确到整数）
附：样本数据
的线性回归方程
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为
．
参考数据：
．
| 第x天 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 鱼苗尾数y | 72 | 140 | 212 | 284 | 340 |
(2)根据（1）中所求的线性回归方程，估计第30天时育种池内鱼苗的尾数（四舍五入精确到整数）
附：样本数据
的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．参考数据：
．
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解题方法
2 . 乒乓球运动在我国非常普及，被定为“国球”.有非常多的青少年从小就接受系统的训练，所以基本功非常扎实，把乒乓球打到对方球台的指定位置是乒乓球运动的基本功之一，打100个球，若有大于90个打到对方球台的指定位置，则称为“优秀”，否则称为“一般”，在练球时，打球动作有“规范动作”和“不规范动作”两种，且在接受训练的学员中，将训练满10次而不满20次记为1组，训练满20次而不满30次记为2组，如此，
，训练满
次而不满
次记为
组.某乒乓球训练部门为了以后优化训练，在“规范动作”和“不规范动作”的两群体中，在组数15组中各随机抽取10人，即两群体中各抽取50人，进行测试得出的关于“优秀”、“一般”的表1和表2如下.表1：
有“规范动作”的学员测试结果（“优秀”个数）
表2：有“不规范动作”的学员测试结果（“优秀”个数）
(1)填写以下表格，依据小概率值
的独立性检验分析，推断“优秀”和“一般”与练球时的“规范动作”是否有关.
(2)在有“规范动作”的学员测试结果中，
表示组数，
表示“优秀”个数，由表1求平均值
和
及关于的经验回归方程
.
参考数据及公式：
，
.
，
，
，
.
，训练满次而不满次记为组.某乒乓球训练部门为了以后优化训练，在“规范动作”和“不规范动作”的两群体中，在组数15组中各随机抽取10人，即两群体中各抽取50人，进行测试得出的关于“优秀”、“一般”的表1和表2如下.表1：有“规范动作”的学员测试结果（“优秀”个数）
| 组数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| “优秀”数 | 1 | 2 | 4 | 6 | 7 |
| 组数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| “优秀”数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
的独立性检验分析，推断“优秀”和“一般”与练球时的“规范动作”是否有关.| “优秀” | “一般” | 合计 | |
| “规范动作” | 50 | ||
| “不规范动作” | 50 | ||
| 合计 |
表示组数，表示“优秀”个数，由表1求平均值和及关于的经验回归方程.参考数据及公式：
，. | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
，，，.
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名校
3 . 近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，大力增加研发资金，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术，某市为了解本市高科技企业的科研投入和产出方面的情况，抽查了本市8家半导体企业2018年至2022年的研发投资额（单位：百亿元）和因此投入而产生的收入附加额（单位：百亿元），对研发投资额
和收入附加额
进行整理，得到相关数据，并发现投资额和收入附加额成线性相关．
(1)求收入的附加额与研发投资额的线性回归方程（保留三位小数）；
(2)现从这8家企业中，任意抽取3家企业，用
表示这3家企业中收入附加额大于投资额的企业个数，求的分布列及数学期望．
参考数据：
，
，
．
附：在线性回归方程中，
，
．
（单位：百亿元）和因此投入而产生的收入附加额（单位：百亿元），对研发投资额和收入附加额进行整理，得到相关数据，并发现投资额和收入附加额成线性相关．投资额 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 |
收入附加额 | 3.6 | 4.1 | 4.8 | 5.4 | 6.2 | 7.5 | 7.9 | 9.1 |
与研发投资额的线性回归方程（保留三位小数）；(2)现从这8家企业中，任意抽取3家企业，用
表示这3家企业中收入附加额大于投资额的企业个数，求的分布列及数学期望．参考数据：
，，．附：在线性回归方程
中，，．
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2023-05-15更新
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838次组卷
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5卷引用：河北省邢台市重点高中2022-2023学年高二下学期6月联考数学试题
解题方法
4 . 
技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．为了解行业发展状况，某调研机构统计了某公司七年时间里在通信技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据，结果如下：
(1)利用相关系数
说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当
时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；
(2)求关于的线性回归方程．
附：相关系数
；
回归方程中的系数
，；
参考数据：
，
，
，
．
技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．为了解行业发展状况，某调研机构统计了某公司七年时间里在通信技术上的研发投入（亿元）与收益（亿元）的数据，结果如下：研发投入 |
|
|
|
|
|
收益 |
|
|
|
|
|
说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系（当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性）；(2)求
关于的线性回归方程．附：相关系数
；回归方程
中的系数，；参考数据：
，，，．
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解题方法
5 . 某研究机构为调查人的最大可视距离(单位：米)和年龄(单位：岁)之间的关系，对不同年龄的志愿者进行了研究，收集数据得到下表：
（1）根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；
（2）根据（1）中求出的线性回归方程，估计年龄为50岁的人的最大可视距离.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，.
(单位：米)和年龄(单位：岁)之间的关系，对不同年龄的志愿者进行了研究，收集数据得到下表： | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
| 167 | 160 | 150 | 143 | 130 |
关于的线性回归方程；（2）根据（1）中求出的线性回归方程，估计年龄为50岁的人的最大可视距离.
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
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2021-06-18更新
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361次组卷
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2卷引用：河北省邢台市2020-2021学年高二下学期第二次月考数学试题
名校
解题方法
6 . 从某居民区随机抽取2021年的10个家庭，获得第
个家庭的月收入(单位：千元)与月储蓄(单位：千元)的数据资料，计算得
， 
， 
， 
．
(1)求家庭的月储蓄对月收入的线性回归方程；
(2)判断变量与之间是正相关还是负相关；
(3)利用（1）中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，并预测当该居民区某家庭月收入为7千元，该家庭的月储蓄额．附：线性回归方程系数公式．
中，
，
， 其中，为样本平均值．
个家庭的月收入(单位：千元)与月储蓄(单位：千元)的数据资料，计算得， ， ， ．(1)求家庭的月储蓄
对月收入的线性回归方程；(2)判断变量
与之间是正相关还是负相关；(3)利用（1）中的回归方程，分析2021年该地区居民月收入与月储蓄之间的变化情况，并预测当该居民区某家庭月收入为7千元，该家庭的月储蓄额．附：线性回归方程系数公式．
中，，， 其中，为样本平均值．
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2022-03-28更新
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394次组卷
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32卷引用：河北省巨鹿县二中2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题
河北省巨鹿县二中2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题（已下线）2013-2014学年山西省太原五中高二3月月考文科数学试卷内蒙古包头市第九中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（文）试题黑龙江省双鸭山市第一中学2017-2018学年高二下学期开学考试数学（理）试题河北省鸡泽一中2017-2018学年高二下学期第一次月考数学（理）试题河北省邯郸市鸡泽县第一中学2017-2018学年高二下学期第一次月考数学（理）试题2018-2019学年高中数学选修2-3人教版练习：模块综合评价(一)【全国百强校】吉林省实验中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题2018-2019学年北师大版高中数学选修2-3同步配套（课件+练习）：第三章检测福建省莆田第八中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理）试题福建省莆田第八中学2018-2019学年高二下学期期中数学（文)试题黑龙江省伊春市第二中学2019-2020学年高二上学期期末数学（文）试题吉林省吉化第一高级中学校2019-2020学年高二上学期期中数学（理）试题安徽省淮北市濉溪县2018-2019学年高二下学期期末数学(文)试题宁夏银川市宁夏大学附属中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理科）试题河南省新乡市辉县一中2018-2019学年高二（上）第二次段考数学（理科）试题四川省成都市新津区新津中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学（文科）试题（已下线）8.2.1-8.2.2一元线性回归模型、一元线性回归模型参数的最小二乘估计广西百色市2021-2022学年高二上学期期末教学质量调研测试数学（文）试题宁夏银川市第二中学2021-2022学年高二上学期期末考试数学（理）试题广西北流市高级中学2021-2022学年高二3月月考数学（文）试题新疆喀什第二中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学（理）试题四川省泸州市泸县第一中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学（理）试题四川省泸州市泸县第一中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学（文）试题2017届重庆市巴蜀中学高三上月考一数学（文）试卷2017届广东省广雅中学、江西省南昌二中高三下学期联合测试文数试卷高中数学人教A版选修2-3 综合复习与测试（2）山西省大同市第一中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题山西省朔州市应县一中2019-2020学年高一上学期第四次月考数学试题内蒙古集宁一中西校区2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题河北省唐山市第十二高级中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题山西省大同市2022届高三上学期学情调研测试数学（文）试题
名校
7 . 2019年初，某零售业巨头入驻石家庄市.为确定开设分店的个数，该公司对已开设分店的其他地区的数据得到如下表格.记表示在各区开设的分店个数，表示这个分店的年收入之和.
（1）求关于的线性回归方程；
（2）假设该公司获得的总年利润
（百万元）与
之间满足
试结合（1）中的线性回归方程，估计该公司在石家庄市需要开设多少分店，才能使得平均每个分店的年利润最大？
（注：
，
，）参考数据
表示在各区开设的分店个数，表示这个分店的年收入之和.| (个) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| (百万元) | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 | 6 |
关于的线性回归方程；（2）假设该公司获得的总年利润
（百万元）与之间满足试结合（1）中的线性回归方程，估计该公司在石家庄市需要开设多少分店，才能使得平均每个分店的年利润最大？（注：
，，）参考数据
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8 . 如今，中国的“双十一”已经变成了全民狂欢的“电商购物日”某电商统计了近8年“双十一”期间该电商的宣传费用x（单位：万元）和利润y（单位：十万元）的数据，得到下列表格：
（1）由表中数据，求y关于x的线性回归方程（
，
精确到0.01）；
（2）用（1）中的回归方程预测当宣传费为14万元时的利润．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，参考数据：
．
| x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 |
| y | 1 | 2 | 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 |
（，精确到0.01）；（2）用（1）中的回归方程预测当宣传费为14万元时的利润．
附：回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为，参考数据：．
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名校
解题方法
9 . 某同学暑期做社会实践活动.对气温与某饮料的销量之间的关系进行调研，记录连续5天的数据如下：
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出关于的线性回归方程，试预测气温是15度时大约可销售多少杯（取整数）？
（注：
，
）
气温x（ ） | 9 | 10 | 12 | 11 | 8 |
| 销量y（杯） | 22 | 25 | 29 | 26 | 20 |
（2）求出
关于的线性回归方程，试预测气温是15度时大约可销售多少杯（取整数）？（注：
，）
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解题方法
10 . 近年来，我国电子商务快速发展，快递行业的市场规模逐渐扩大．国家邮政局数据显示，2013~2019年，中国快递量持续增长，2019年，我国快递量达到635.2亿件，比前一年增长25.3%，人均使用快递45件左右．某快递公司为预测本公司下一年的快递量，以便提前增加设备和招聘工人，该快递公司对近5年本公司快递量的数据进行对比分析，并对这些数据做了初步处理，得到了下表数据及一些统计量的值，其中
．
（1）设
和
的相关系数为
和
的相关系数为
，请从相关系数的角度，确定
或
（其中
均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好；
（2）根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并预测2020年度的快递量（单位：百万件，精确到0.01）．
附：①相关系数
，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
．
②参考数据：
．
．编号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
年份 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
快递量y（单位：百万件） | 1 | 3 | 6 | 9 | 15 |
 |  |  |  |  |
| 374 | 4.4 | 212 | 6.5 | 121 |
（1）设
和的相关系数为和的相关系数为，请从相关系数的角度，确定或（其中均为常数，e为自然对数的底数）哪一个拟合程度更好；（2）根据（1）的结论及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并预测2020年度的快递量（单位：百万件，精确到0.01）．
附：①相关系数
，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为．②参考数据：
．
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