名校
1 . 定义在
上的函数
满足：若对任意的实数
，有
，则称为
函数．
（1）判断
和
是否为函数，并说明理由；
（2）当
时，函数的图像是一条连续的曲线，值域为
，且
，求证：关于
的方程
在区间
上有且只有一个实数根；
（3）设为函数，且
，定义数列
：
，
，证明：对任意
，有
．
上的函数满足：若对任意的实数，有，则称为函数．（1）判断
和是否为函数，并说明理由；（2）当
时，函数的图像是一条连续的曲线，值域为，且，求证：关于的方程在区间上有且只有一个实数根；（3）设
为函数，且，定义数列：，，证明：对任意，有．
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解题方法
2 . 
个正数排成
行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数
的等比数列.
已知
，
，
.
（1）设
，求数列
的通项公式；
（2）设
，求证：
()；
（3）设
，请用数学归纳法证明：
.
个正数排成行列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数的等比数列.已知
，，.（1）设
，求数列的通项公式；（2）设
，求证：()；（3）设
，请用数学归纳法证明：.
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2021-01-15更新
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197次组卷
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3卷引用：上海市静安区2021届高三上学期一模数学试题
上海市静安区2021届高三上学期一模数学试题（已下线）课时23 数学归纳法及其应用-2022年高考数学一轮复习小题多维练（上海专用）2023版 苏教版(2019) 选修第一册 名师精选卷 第十二单元 数学归纳法
名校
3 . 定义：有限非空数集
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合
，其“积数”
.
（1）若有限数集
，求证：集合
的所有非空子集的“积数”之和
满足
；
（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（
），记集合A的所有非空子集的“积数”之和
，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；
（3）若有限集
，
①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和
奇数；
②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合，其“积数”.（1）若有限数集
，求证：集合的所有非空子集的“积数”之和满足；（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集
（），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；（3）若有限集
，①试求由
中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和奇数；②试求由
中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和偶数.
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解题方法
4 . 设无穷数列
的每一项均为正数，对于给定的正整数
，
(
)，若
是等比数列，则称为
数列.
（1）求证：若是无穷等比数列，则是数列；
（2）请你写出一个不是等比数列的
数列的通项公式；
（3）设为数列，且满足
，请用数学归纳法证明：是等比数列.
的每一项均为正数，对于给定的正整数，()，若是等比数列，则称为数列.（1）求证：若
是无穷等比数列，则是数列；（2）请你写出一个不是等比数列的
数列的通项公式；（3）设
为数列，且满足，请用数学归纳法证明：是等比数列.
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2020-06-12更新
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497次组卷
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2卷引用：2020届上海市静安区高三第二次模拟数学试题
5 . 已知数列
，
，
，设
，其中
表示不大于的最大整数．设
，数列的前项和为
．求证：
（1）判断
与
的大小，并说明理由；
（2）证明：
；
（3）证明：当
时，
．
，，，设，其中表示不大于的最大整数．设，数列的前项和为．求证：（1）判断
与的大小，并说明理由；（2）证明：
；（3）证明：当
时，．
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6 . 已知数列
满足：，
，
.
（1）求
的值；
（2）设
，求证：数列
是等比数列，并求出其通项公式；
（3）对任意的
，
，在数列中是否存在连续的
项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列：若不存在，请说明理由.
满足：，，.（1）求
的值；（2）设
，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；（3）对任意的
，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列：若不存在，请说明理由.
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12-13高三上·上海黄浦·期末
7 . 已知
，且
，数列
满足
．
(1) 求证数列 是等比数列；
(2)数列 的通项公式；
(3)若
满足
，试用数学归纳法证明：
．
，且 ，数列 满足．(1) 求证数列
是等比数列；(2)数列
的通项公式；(3)若
满足 ，试用数学归纳法证明：．
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名校
解题方法
8 . 设数列的前n项和为，对一切
，点
都在函数
图象上.
(1)求
，归纳数列的通项公式（不必证明）；
(2)将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为
、
、
、
、
、
、
、
、
、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求
的值；
(3)设
为数列
的前n项积，若不等式
对一切
都成立，求a的取值范围.
的前n项和为，对一切，点都在函数图象上.(1)求
，归纳数列的通项公式（不必证明）；(2)将数列
依次按1项、2项、3项、4项循环地分为、、、、、、、、、…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成新的数列为，求的值；(3)设
为数列的前n项积，若不等式对一切都成立，求a的取值范围.
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名校
9 . 观察数列：①
；②正整数依次被4除所得余数构成的数列
；③
.
(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列，如果________________，对于一切正整数都满足___________________成立，则称数列是以
为周期的周期数列；
(2)若数列满足
，为的前项和，且
，求数列的周期，并求
；
(3)若数列的首项，
，且
，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论．
；②正整数依次被4除所得余数构成的数列；③.(1)对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列
，如果________________，对于一切正整数都满足___________________成立，则称数列是以为周期的周期数列；(2)若数列
满足，为的前项和，且，求数列的周期，并求； (3)若数列
的首项，，且，判断数列是否为周期数列，并证明你的结论．
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名校
解题方法
10 . 设实数
，整数
，
．
(1)求证：当
且
时，
；
(2)若数列满足
，
，求证：
．
，整数，．(1)求证：当
且时，；(2)若数列
满足，，求证：．
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2023-05-23更新
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576次组卷
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13卷引用：沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第二部分 走近高考 第四章 数列与数学归纳法高考题选
沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第二部分 走近高考 第四章 数列与数学归纳法高考题选（已下线）2019高考备考一轮复习精品资料 【理】专题十三 导数的概念及其运算 教学案（已下线）2019高考备考一轮复习精品资料 【理】专题十四 导数在函数研究中的应用 教学案（已下线）2019高考热点题型和提分秘籍 【理数】专题10 导数的概念及运算 （教学案）2020届江苏省南通市通州区高三下学期第一次模拟测试数学试题（已下线）专题33 算法、复数、推理与证明-十年（2011-2020）高考真题数学分项（八）（已下线）专题1 数学归纳法及其变种 微点1 数学归纳法（已下线）第二篇 函数与导数专题4 不等式 微点2 伯努利不等式（已下线）第三篇 数列、排列与组合 专题2 多边形数、伯努利数、斐波那契数、洛卡斯数、明安图数与卡塔兰数 微点3 伯努利数（已下线）【一题多解】 构造数列 单调有界（已下线）【一题多解】 构造数列 单调有界1（已下线）专题21 数列解答题（理科）-3福建省师范大学附属中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学理试题
