1 . 数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立．证明分为下面两个步骤：1．证明当
（
）时命题成立；2．假设
（
，且
）时命题成立，推导出在
时命题也成立．用模取余运算：
表示“整数
除以整数
，所得余数为整数
”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即
，整数
是商．如
，则
；再如
，则
．当
时，则称整除．现从序号分别为
，
，
，
，…，
的
个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到
（
）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为
．如
表示当只有1个人时幸运者就是；
表示当有6个人而
时幸运者是
；
表示当有6个人而
时幸运者是．
(1)求
；
(2)当
时，
，求
；当
时，解释上述递推关系式的实际意义；
(3)由（2）推测当
（）时，
的结果，并用数学归纳法证明．
（）时命题成立；2．假设（，且）时命题成立，推导出在时命题也成立．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”．用带余除法可表示为：被除数＝除数×商＋余数，即，整数是商．如，则；再如，则．当时，则称整除．现从序号分别为，，，，…，的个人中选出一名幸运者，为了增加趣味性，特制定一个遴选规则：大家按序号围成一个圆环，然后依次报数，每报到（）时，此人退出圆环；直到最后剩1个人停止，此人即为幸运者，该幸运者的序号下标记为．如表示当只有1个人时幸运者就是；表示当有6个人而时幸运者是；表示当有6个人而时幸运者是．(1)求
；(2)当
时，，求；当时，解释上述递推关系式的实际意义；(3)由（2）推测当
（）时，的结果，并用数学归纳法证明．
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2 . 已知数列
的前
项和为
，且
，
.
(1)求数列的通项公式；
(2)令
，求证：
.
的前项和为，且，.(1)求数列
的通项公式；(2)令
，求证：.
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2023-05-29更新
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392次组卷
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3卷引用：河北省唐山市第十中学2023届高三模拟数学试题
2023高三·全国·专题练习
解题方法
3 . 已知数列
，数列的前n项和为
，令
，
，求证：数列
的前n项和满足
，数列的前n项和为，令，，求证：数列的前n项和满足
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解题方法
4 . 已知数列满足
，
，
，为数列前项和.
(1)若
，
，求的通项公式；
(2)若
，设为前n项平方和，证明：
恒成立.
满足，，，为数列前项和.(1)若
，，求的通项公式；(2)若
，设为前n项平方和，证明：恒成立.
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5 . 用数学归纳法证明“
”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（ ）
”时，由的假设证明时，不等式左边需增加的项数为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2021-11-30更新
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720次组卷
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70卷引用：河北武邑中学2017—2018高三年级上学期第二次调研考试数学试题理
河北武邑中学2017—2018高三年级上学期第二次调研考试数学试题理河北省保定市2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题江西省奉新县第一中学2021届高三上学期第四次月考数学（理）试题（已下线）专题12.2 直接证明与间接证明、数学归纳法（精练）-2021年高考数学(理)一轮复习讲练测（已下线）考点44 数学归纳法-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点微专题江西省靖安中学2021届高三上学期第四次月考数学（理）试题（已下线）专题7.6 数学归纳法（练）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（已下线）考点47 推理与证明-备战2022年高考数学（文）一轮复习考点帮2016-2017学年山东省胶州市普通高中高二上学期期末考试数学（理）试卷山西省太原市第五中学2016-2017学年高二5月月考数学（理）试题2黑龙江省大庆实验中学2016-2017学年高二6月月考数学（理）试题河南省洛阳市2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题河南省洛阳市2016-2017学年高二下学期期末考试理科数学试题黑龙江省伊春市第二中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题福建省安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2016-2017学年高二下学期期末联考数学（理）试题河南省周口市2016-2017学年高二下学期期末考试理数试题四川省南充高级中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题山东省德州市2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题山东省德州市高二高级中学2016-2017学年第二学期期末质量检测理科数学试题河南省八市2017-2018学年高二下学期第一次测评理科数学试题安徽师范大学附属中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题【全国百强校】天津市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题北京市海淀区首师大附中2016-2017高二下期末试卷数学（理科）【全国百强校】广西南宁市第二中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题【全国百强校】四川省树德中学2018-2019学年高二下学期4月阶段性测试数学（理）试题吉林省延边第二中学2018-2019学年高二下学期期末数学（理）试题江西省上饶市2019-2020学年高二上学期期末数学（理）试题浙江省温州中学2018-2019学年高二上学期期末数学试题河南省林州市第一中学2019-2020学年高二（实验班）4月月考数学试题吉林省梅河口市第五中学2019-2020学年高二4月月考数学（理）试题陕西省延安市第一中学2019-2020学年高二下学期线上摸底考试数学(理)试题浙江省绍兴市柯桥区鲁迅中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题河南省项城市第三高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学理科试卷山西省孝义市2019-2020学年高二下学期期末数学（理）试题甘肃省平凉市庄浪县第一中学2019-2020学年高二第二学期期中考试数学（理）试题（已下线）专题22+推理与证明、数系的扩充与复数的引入专项练习-2020-2021学年【补习教材·寒假作业】高二数学（理）（人教A版）（已下线）专题20 数学归纳法-2020-2021学年高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练（已下线）4.4 数学归纳法（精练）-2020-2021学年一隅三反系列之高二数学新教材选择性必修第二册（人教A版）（已下线）专题4.5 数学归纳法（B卷提升篇）-2020-2021学年高二数学选择性必修第二册同步单元AB卷（新教材人教A版，浙江专用）安徽省阜阳市临泉县第一中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学(理)试题江西省贵溪市实验中学高中部2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题江苏省徐州市邳州市明德实验学校2020-2021学年高二下学期第一次学情调研数学试题江西省南昌市新建一中2020-2021学年高二下学期开学考试数学（理）试题（已下线）第二章 推理与证明【专项训练】-2020-2021学年高二数学（理）下学期期末专项复习（人教A版选修2-2）（已下线）【新教材精创】5.5 数学归纳法 -B提高练 （已下线）4.4数学归纳法-【优质课堂】2021-2022学年高二数学同步课时优练测（人教A版2019选择性必修第二册）陕西省咸阳市实验中学2020-2021学年高二下学期第三次月考理科数学试题吉林省长春市实验中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题浙江省杭州市实验外国语学校2020-2021学年高二下学期期中数学试题陕西省延安市黄陵中学2020-2021学年高二下学期第一次月考理科数学试题2016-2017学年山东省胶州市普通高中高二上学期期末考试理数试卷（已下线）4.4 数学归纳法-2020-2021学年高二数学课时同步练（人教A版选择性必修第二册）（已下线）4.4数学归纳法（A 基础培优练）-2021-2022学年高二数学同步双培优检测（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）2.3 数学归纳法-2020-2021学年高二数学（理）十分钟同步课堂专练（人教A版选修2-2）甘肃省平凉市静宁一中普通班2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（理）试题山西省太原市第五中学2016-2017学年高二5月月考数学（理）试题1（已下线）4.4数学归纳法(备作业）-【上好课】2021-2022学年高二数学同步备课系列（苏教版2019选择性必修第一册） （已下线）4.4 数学归纳法-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）第04讲 数学归纳法-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）江西省景德镇市第一中学2021-2022学年高二上学期期末数学（理）试题河南省温县第一高级中学2021-2022学年高二下学期3月月考理科数学试题（已下线）第4章 数列 章末题型训练-《讲亮点》2021-2022学年高二数学新教材同步配套讲练（苏教版2019选择性必修第一册）沪教版(2020) 选修第一册 新课改一课一练 第4章 4.4.2 数学归纳法的应用四川省成都市嘉祥教育集团2021-2022学年高二下学期期中质量监测数学（理）试题（已下线）第04讲 数学归纳法（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）（已下线）专题22 推理与证明、数系的扩充与复数的引入专项练习（已下线）4.4 数学归纳法（同步练习）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）（已下线）4.4 数学归纳法（2）1.5数学归纳法检测B卷(综合提升）1.5数学归纳法检测A卷(基础巩固）
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6 . 用数学归纳法证明
，则当时左端应在的基础上
，则当时左端应在的基础上| A．增加一项 | B．增加项 |
C．增加 项 | D．增加 项 |
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2019-06-27更新
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387次组卷
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3卷引用：河北省辛集中学2020届高三上学期入学考试数学（理）试题
名校
7 . 用数学归纳法证明“l+2+3+…+n3=
，n∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式左边加上（ ）
，n∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k时对应的等式左边加上（ ）| A．k3+1 | B．（k3+1）+（k3+2）+…+（k+1）3 |
| C．（k+1）3 | D． |
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2018-06-21更新
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599次组卷
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9卷引用：河北省邢台市2018届高三上学期第二次月考理数试题
河北省邢台市2018届高三上学期第二次月考理数试题吉林省梅河口市第五中学2018届高三上学期第三次月考数学（理）试题吉林省梅河口市第五中学2018届高三上学期第三次月考数学（文）试题四川省成都经济技术开发区实验中学校2019届高三上学期入学考试数学（文）试题【全国百强校】北京101中学2017-2018学年下学期高二年级期中考试数学试卷（理科）（已下线）2019年4月10日 《每日一题》理数选修2-2（期中复习）-数学归纳法北京市北京师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题辽宁师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期开学考试数学试题安徽省淮北市树人高级中学2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题
2011高三·河北·专题练习
8 . 用数学归纳法证明－1＋3－5＋…＋
＝
，当n＝1时，左边应为________
＝ ，当n＝1时，左边应为________
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9 . 用数学归纳法证明：
（
）时，从“
”时，左边应增添的代数式为_______________ .
（）时，从“”时，左边应增添的代数式为
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+βn﹣1）lga对任何n∈N*都成立，证明你的结论．
