【推荐1】因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元.
（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.

【推荐2】已知函数，，
，其中且.
（I）求函数的导函数的最小值；
（II）当时，求函数的单调区间及极值；
（III）若对任意的，函数满足，求实数
的取值范围.

【推荐3】已知向量，k､t为正实数，.
（1）若求k的最大值；
（2）是否存在k､t使得？若存在，求出k的取值范围，若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知圆M：，圆N经过点，，．
(1)求圆N的标准方程，并判断两圆位置关系；
(2)若由动点P向圆M和圆N所引的切线长相等，求动点P的轨迹方程．

【推荐2】已知圆M经过原点和点，且它的圆心M在直线上.
(1)求圆M的方程；
(2)若点D为圆M上的动点，定点，求线段CD的中点P的轨迹方程.

【推荐3】已知点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线，将曲线上所有点的纵坐标变为原来的一半，横坐标不变，得到曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)，是曲线上两点，且，为坐标原点，求面积的最大值.

【推荐1】已知点P是曲线C上任意一点，点P到点的距离与到直线y轴的距离之差为1.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过不在曲线C上的一点M作互相垂直的两条直线，分别与曲线在y轴右侧的部分相切于A，B两点，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标.

【推荐2】已知动圆与直线相切，且过点，设动圆圆心P的轨迹为C .
(Ⅰ)求C的方程；
(Ⅱ)若直线l与曲线C 相交于A，B 两点，且O为坐标原点，OAOB，求证：直线l恒过定点.

【推荐3】已知动圆过定点，且与直线相切.
(1)求动圆的圆心轨迹的方程；
(2)是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

【推荐1】已知圆与圆相外切，且与直线相切．
（1）记圆心的轨迹为曲线，求的方程；
（2）过点的两条直线与曲线分别相交于点和，线段和的中点分别为.如果直线与的斜率之积等于1，求证：直线经过定点．

【推荐2】过点的直线与抛物线交于点M，N，且当直线恰好过抛物线C的焦点F时，．

(1)求抛物线C的方程；
(2)设点Q在线段MN上（异于端点），且，求点Q的轨迹方程．

【推荐3】设抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，且过点的直线交抛物线于，两点.
(1)若直线的斜率为，求证：；
(2)设直线，的斜率分别为，，探究与之间的关系，并说明理由.