【推荐1】已知分别是椭圆的左、右顶点，过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于两点，面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与交于点，直线与交于点.
①求直线的方程；
②记的面积分别为，求的最大值.

【推荐2】已知椭圆的左焦点为，不过坐标原点O且不平行于坐标轴的直线l与椭圆C有两个交点A，B，线段的中点为Q，直线的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点F的直线m交椭圆C于点M，N，且满足，求直线m的方程.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点．若点在上，且的最小值为．
(1)求的方程；
(2)若点在直线上，且，，求的面积．

【推荐1】已知O为坐标原点，设椭圆的离心率为，过椭圆E上第一象限内一点P引x轴、y轴的平行线，分别交y轴、x轴于点A，B，且分别交直线于点Q，R，记与的面积分别为，，满足．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知点，直线交椭圆E于S，T两点，直线NS，NT分别与x轴交于C，D两点，证明：为定值．

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为,,且．过的一条斜率存在且不为零的直线交于两点,的周长为．
(1)求的方程;
(2)设关于轴的对称点为,直线交轴于点,过作的一条切线,切点为,证明:．

【推荐3】已知椭圆C：上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线）

【推荐1】已知椭圆的左焦点为，过点作轴的垂线与椭圆在第二象限的交点为.椭圆的左､右顶点分别为，，且△的面积为，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与轴交于点，过点作直线与椭圆交于，两点，若.求直线的方程.

【推荐2】已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，若以为直径的圆过原点，求直线方程．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知向量，且而，动点的轨迹为C.
（1）求曲线C的标准方程；
（2）若M，N是曲线C上关于x轴对称的任意两点，设，连接交曲线C于另一点E，求证：直线过定点B，并求出点B的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点B的直线交曲线C于S，T两点，求的取值范围.