【推荐1】如图，在平面几何中，有如下命题“正三角形的高为，O是内任意一点， O到三边的距离分别为，则为定值；当O是的中心时，O到各边的距离均为”．
证明如下：设正三角形边长为a，高h，O到三边的距离分别，
则：，即：，
化简得，，
（定值）．
若O是中心，则，即：正三角形中心到各边的距离均为．
   
类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体（下图）相应的命题，并证明你的结论．
   

【推荐2】已知三棱锥中，平面平面，.
   
(1)若，求与平面所成角的正切值；
(2)当二面角最小时，求三棱锥体积.

【推荐3】如图，已知面，四边形为矩形，四边形为直角梯形，，

（1）求证：面；
（2）求三棱锥的体积.

【推荐1】如图，在棱长均为的三棱柱中，点在平面内的射影为与的交点，、分别为，的中点.

（1）求证：四边形为正方形；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面没有公共点？若存在求出的值.（该问写出结论即可）

【推荐2】在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，平面，．

   

(1)求证：；
(2)若为的中点，问线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

【推荐3】矩形与矩形的公共边为，且平面平面，如图所示，，.

（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若是棱的中点，在线段上是否存在一点，使得平面？证明你的结论．

【推荐1】如图，已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，为等边三角形，且点P在底面上的射影为的中点G，点E在线段上，且.

（1）求证：平面.
（2）求二面角的余弦值.

【推荐2】如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为3，底面半径为2．

(1)求该圆锥侧面展开图的圆心角；
(2)设、为该圆锥的底面半径，且，为线段的中点，求直线与直线所成角的余弦值．

【推荐3】如图（a），在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝8，AD＝CD＝4，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图（b）所示．

（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求几何体D－ABC的体积．