【推荐1】已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且椭圆经过圆的圆心．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l过椭圆的焦点且与圆C相切，求直线l的方程．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线．
(1)设斜率为1的直线l交于P、Q两点，若l与圆相切，求证：；
(2)设椭圆，若M、N分别为、上的动点，且，求证：点O到直线MN的距离为定值．

【推荐3】已知动点到点的距离是它到点的距离的一半.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）求的取值范围.

【推荐1】已知抛物线的顶点为原点，焦点F与圆的圆心重合．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)是否存在过焦点F的直线，使得与抛物线和圆顺次交于A、B、C、D四点，并且、、满足？若存在，求出直线的方程．

【推荐2】如图所示，已知抛物线E：，其焦点与准线的距离为6，过点作直线，与E相交，其中与E交于A，B两点，与E交于C，D两点，直线AD过E的焦点F，若AD，BC的斜率为，．
   
(1)求抛物线E的方程；
(2)问是否为定值？如是，请求出此定值；如不是，请说明理由．

【推荐3】已知抛物线的准线上一点，直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点、．
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线、、的斜率分别为、、，求证：．

【推荐1】已知抛物线与直线相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知过点且不与x轴垂直的直线l与抛物线C交于A，B两点．若，求弦的中点到直线的距离．

【推荐2】已知抛物线上的一点的横坐标为，焦点为，且，直线与抛物线交于两点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若是轴上一点，且的面积等于，求点的坐标.

【推荐3】已知抛物线E：的焦点为F，点在抛物线E上，且的面积为（O为坐标原点）.
(1)求抛物线E的方程；
(2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于C､D两点，求的最小值.

【推荐1】已知抛物线的焦点为F，直线交抛物线E于A，B两点，当直线过点F时，点A，B到E的准线的距离之和为12，线段AB的中点到y轴的距离是4．
(1)求抛物线E的方程；
(2)当时，设线段AB的中点为M，在x轴上是否存在点N，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．

【推荐2】已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知，：，求的值.

【推荐3】已知为坐标原点，为坐标平面内动点，且成等差数列.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，过点作直线交于两点(不与原点重合)，是否存在轴上一定点，使得_________.若存在，求出定点，若不存在，说明理由.从“①作点关于轴的对称点，则三点共线；②”这两个条件中选一个，补充在上面的问题中并作答(注:如果选择两个条件分别作答，按第一个解答计分)