【推荐1】设，为正整数，一个正整数数列，，…，满足，对，定义集合，数列，，…，中的（）是集合中元素的个数.
（I）若数列，，…，为5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，；
（II）若，，，，…，为公比为的等比数列，求；
（III）对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有.

【推荐2】已知数列和满足,若为等比数列,且.
（1）求及数列的通项公式；
（2）设,记数列的前项和为.
①求；
②若恒成立，求正整数的值.

【推荐3】已知有穷数列：，，，……，的各项均为正数，且满足条件：
①；②.
（1）若，，求出这个数列；
（2）若，求的所有取值的集合；
（3）若是偶数，求的最大值（用表示）.

【推荐2】已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，，，.
（1）求和的通项公式;
（2）求数列的前n项和;
（3）设集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前项和，求的最小值.

【推荐3】记数列的前n项和为，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为
若是等差数列，项数n为偶数，首项，公差，且，求；
若数列的首项，满足，其中实常数，且，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列．

【推荐1】设自然数，个不同的自然数有下列性质：对集合的任何两个不同的非空子集，，中所有数的和与中所有数的和都不会相等.在上述条件下，求的最大值.

【推荐2】已知数列{}的前n项和为，且满足．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：．

【推荐3】设是给定的大于1的正整数．对任意，当时，试求的最大值．

【推荐1】已知有限数列，若满足，n是项数，则称满足性质.
(1)判断数列3，2，5，1和4，3，2，5，1是否具有性质，请说明理由；
(2)若数列是，公比为的等比数列，项数为10，且具有性质，求的取值范围.

【推荐2】已知数列：，，…，满足：（，2，…，，），从中选取第项、第项、…、第项（，）称数列，，…，为的长度为的子列.记为所有子列的个数.例如：0，0，1，其.
(1)设数列A：1，1，0，0，写出A的长度为3的全部子列，并求；
(2)设数列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判断，，的大小，并说明理由；
(3)对于给定的正整数，（），若数列：，，…，满足：，求的最小值.

【推荐3】若有穷数列满足且对任意的，至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质
（1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
（2）设项数为的数列具有性质，求证：；
（3）若项数为的数列具有性质，写出一个当时，不是等差数列的例子，并证明当时，数列是等差数列