【推荐1】已知数列的前项和为，且对任意都成立.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和.

【推荐2】在数列，中，，，.等差数列的前两项依次为.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.

【推荐3】已知数列满足，，，，且是等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）①求证：为等比数列；
②求证：对于任意，都有成立．

【推荐1】已知数列是以2为首项的等差数列，且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式及前项和；
（Ⅱ）若，求数列的前项之和.

【推荐3】已知函数，满足：①对任意，都有；
②对任意n∈N ^*都有．
（Ⅰ）试证明：为上的单调增函数；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）令，试证明：

【推荐1】已知函数的图象经过坐标原点，且，数列的前项和（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和；
(3)令，若（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立.

【推荐2】设数列是公差不为零的等差数列，满足，.数列的前和为，且满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求值；
(3)在和之间插入1个数，使，，成等差数列；在和之间插入2个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列.
求.

【推荐3】 已知数列中，（为常数），为的前项和，且是与的等差中项.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)求数列的通项公式；
(Ⅲ)若且，为数列的前项和，求的值.

【推荐2】已知数列{a_n}满足.
(1)若方程f(x)=x的解称为函数y=f(x)的不动点，求a_n+1=f(a_n)的不动点的值；
(2)若，求证：数列{lnb_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项．
(3)当任意时，求证：.

【推荐3】2019年7月1日到3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善．某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试．现对测试数据进行分析，得到如图的频率分布直方图．

（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航量程X近似地服从正态分布，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50．用样本平均数作为的近似值，用样本标准差s作为的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率；
（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券．已知硬币出现正，反面的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格……第50格．遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k到），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束．设遥控车移到第n格的概率为，试证明是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车．
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．