【推荐2】已知项数为的数列满足如下条件：①；②．若数列满足，其中则称为的“心灵契合数列”．
（I）数列1，5，9，11，15是否存在“心灵契合数列”若存在，写出其心灵契合数列，若不存在请说明理由；
（II）若为的“心灵契合数列”，判断数列的单调性，并予以证明；
（Ⅲ）已知数列存在“心灵契合数列”，且，，求m的最大值．

【推荐3】已知数列满足：.
(1)求证：存在实数，使得；
(2)求数列的通项公式.

【推荐1】若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.
(1)设第次构造后得的数列为，则，请用含的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：

【推荐2】对于项数为m的有穷数列，记，即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
（I）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有符合条件的数列；
（II）设m=100，若，是的控制数列，求的值；
（III）设是的控制数列，满足 (C为常数，).
求证：.

【推荐3】设数列的通项公式为．数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最小值．
（1）若，，求；
（2）若，，求数列的前2m项和公式；

【推荐1】已知数列是递增的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求使成立的正整数的最小值．

【推荐2】记为正数列的前项和，已知是等差数列.
(1)求；
(2)求最小的正整数，使得存在数列，.

【推荐3】已知数列的前n项和为，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为，点在直线上，若存在，使不等式成立，求实数的最大值．

【推荐2】已知数列各项都是正数，，对任意都有．数列满足，．
（1）求证：是等比数列，是等差数列；
（2）设，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．

【推荐3】已知为等差数列，为正项等比数列，且满足，．
(1)是否存在正整数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
(2)求．