【推荐1】已知椭圆的长轴为双曲线的实轴，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)已知椭圆在其上一点处的切线方程为．过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交于两点，过点分别作椭圆的切线，两切线交于点．求证：．

【推荐2】已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得.若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于A，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过轴上一定点.

【推荐3】如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点P（2，-1）作两直线与椭圆相交于相异的两点A，B，直线PA，PB的倾斜角互补.直线AB与x，y轴正半轴相交，分别记交点为M，N.

(1)若的面积为，求直线AB的方程；
(2)若AB与双曲线的左､右两支分别交于Q，R，求的范围.

【推荐1】已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设分别为椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于两点，求面积的最大值.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围.

【推荐3】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点是椭圆与轴负半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知斜率大于0的直线与椭圆有唯一的公共点，过点作直线的平行线交椭圆于点，若的面积为，求直线的方程.

【推荐1】平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M．
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标．

【推荐2】已知椭圆：的离心率为，且椭圆过点，点，分别为椭圆的左、右顶点．
(1)求椭圆的方程；
(2)点，为椭圆上不同两点，过椭圆上的点作，且，求证：的面积为定值．

【推荐3】已知椭圆：上顶点为，右顶点为，离心率，为坐标原点，圆：与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线：（）与椭圆相交于两不同点，若椭圆上一点满足，求面积的最大值及此时的.

【推荐2】已知是坐标原点，椭圆的焦距为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若的面积最大时.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆在第一象限交于点，点是第四象限的点且在椭圆上，线段被直线垂直平分，直线与椭圆交于另一点，求证：.

【推荐3】已知椭圆的方程，右焦点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆的左、右顶点，过的直线交于两点（其中点在轴上方），求与的面积之比的取值范围.