【推荐1】已知向量，，函数
（1）若∥，求x的值；
（2）求函数的最小正周期和单调递增区间

【推荐2】抛物线的焦点，过C的焦点F斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，的面积为
(1)求抛物线C的方程；
(2)若P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求面积S的最小值．

【推荐3】已知向量，满足，，，且与不共线．
（1）若向量与为方向相反的向量，求实数的值；
（2）若向量与的夹角为，求与的夹角．

【推荐1】已知双曲线为双曲线的左､右焦点，焦距为4，点在上，且满足．
(1)求的方程；
(2)过点作直线交双曲线于两点，轴上是否存在定点，使其恒在以为直径的圆上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦距为6，顶点为，；
(2)顶点为，，虚轴长为2；
(3)实轴长和虚轴长相等，且经过点．

【推荐3】已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．

【推荐1】陕西历史博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作中的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线的右支与y轴及直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，如图，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底座外直径为，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
          
(1)求杯身最细之处的周长（杯的厚度忽略不计）：
(2)求此双曲线C的离心率与渐近线方程.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右焦点且斜率为1的直线交椭圆于两点（点在轴上方），线段的垂直平分线交直线于点，求以为直径的圆的方程.

【推荐3】已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点，使 ，求双曲线的离心率的范围．

【推荐1】斜率为2的直线在双曲线上截得的弦长为，求的方程．

【推荐2】已知双曲线C：的一条渐近线方程为，点是双曲线的一个顶点.
（1）求双曲线的方程；
（2）经过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线l，且与双曲线交于A，B两点求AB的长.

【推荐3】已知双曲线，过点的直线与该双曲线的左、右两支分别交于点，当直线的斜率为时，求．