【推荐1】已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值．

【推荐2】设椭圆，圆为.
（1）若椭圆的长轴为4，且焦距与椭圆的焦距相等，求椭圆的标准方程；
（2）过圆上任意一点作其切线，若与椭圆交于两点，求证：为定值（为坐标原点）；
（3）在（2）的条件下，求面积的取值范围.

【推荐3】已知椭圆的左、右顶点分别为，，点在椭圆上运动，若面积的最大值为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作圆：，的两条切线，分别与椭圆交于两点，(异于点)，当变化时，直线是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

【推荐1】已知点是圆：上任意一点，点与圆心关于原点对称.线段的中垂线与交于点.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设点，若直线轴且与曲线交于另一点，直线与直线交于点，证明：点恒在曲线上，并求面积的最大值.

【推荐2】已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为、，且椭圆经过点.
（1）求椭圆的方程.
（2）若过的直线与椭圆交于，两点，记，求的取值范围.

【推荐3】已知分别是椭圆的左､右焦点，是上位于轴上方的两点，∥，且与的交点为．

(1)求四边形的面积S的最大值；
(2)证明：为定值．

【推荐1】已知直线与椭圆交于A，B两个不同的点，点M为AB中点，点O为坐标原点.且椭圆C的离心率为，长轴长为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若OA，OB的斜率分别为，，，求证：为定值；
（3）已知点，当的面积S最大时，求的最大值.

【推荐2】已知动圆与圆相内切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程：
（2）直线与曲线交于点、，点为线段的中点，若，为坐标原点，求面积的最大值.

【推荐3】已知，，为平面上的一个动点.设直线的斜率分别为，，且满足.记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程；
(2)直线，分别交动直线于点，过点作的垂线交轴于点.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

【推荐1】已知椭圆：的长轴为4，离心率为

(1)求椭圆的方程；
(2)如图，过点的直线与交于，，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，记，，的面积分别为，，，问：是否存在实数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由

【推荐2】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且.
(1)求椭圆方程；
(2)对于轴上的某一点，过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若存在轴上的点，使得对符合条件的恒有成立，我们称为的一个配对点，求证：点是左焦点的配对点；
(3)根据（2）中配对点的定义，若点有配对点，试问：点和点的横坐标应满足什么关系，点的横坐标的取值范围是什么？并说明理由.