【推荐1】如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为3，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径.

（1）计算球的表面积和体积；
（2）若是截面小圆上一点，，分别是线段和的中点，求异面直线与所成的角（结果用反三角表示）.

【推荐2】已知过球面上 A，B，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积和体积.

【推荐3】知正方体的棱长为2.

（1）求点到平面的距离；
（2）平面截该正方体的内切球，求截面积的大小；

【推荐1】如图，已知四棱锥的外接球O的体积为，，侧棱PA与底面ABCD垂直，四边形ABCD为矩形，点M在球O的表面上运动，求四棱锥体积的最大值.
   

【推荐2】一块边长为的正三角形薄铁片，按如图所示设计方案，裁剪下三个全等的四边形（每个四边形中有且只有一组对角为直角），然后用余下的部分加工制作成一个“无盖”的正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）形容器．
(1)请将加工制作出来的这个“无盖”的正三棱柱形容器的容积表示为关于的函数，并标明其定义域；
(2)若加工人员为了充分利用边角料，考虑在加工过程中，使用裁剪下的三个四边形材料恰好拼接成这个正三棱柱形容器的“顶盖”．
（i）请指出此时的值（不用说明理由），并求出这个封闭的正三棱柱形容器的侧面积；
（ii）若还需要在该正三棱柱形容器中放入一个金属球体，试求该金属球体的最大体积．

【推荐3】如图，正方体的棱长为1，在正方体内随机取一点M.求：

(1)使四棱锥的体积小于的概率;
(2)落在以正方体的中心为球心，半径为的球的内部的概率

【推荐1】如图，已知三棱柱中，底面，，，，，，分别为棱，的中点.

（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）若为线段的中点，试在图中作出过，，三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求该截面分三棱柱成两部分（较小部分与较大部分）的体积的比值.

【推荐2】如图，在直三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，∠ABC＝，M是棱AC的中点，且AB＝BC＝BB₁＝1.

（1）求证：AB₁平面BC₁M
（2）求异面直线AB₁与BC₁所成角的大小．

【推荐3】如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为.

(1)求侧面与底面所成的二面角的大小；
(2)若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；
(3)在（2）的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由.