【推荐1】已知定长为的线段的两端点在抛物线上移动，试求线段的中点到轴的最短距离．

【推荐2】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，已知点，为坐标原点.若的最小值为3.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线，交抛物线于两点，求的取值范围.

【推荐3】已知抛物线的焦点为，定点与点在抛物线的两侧，抛物线上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为．
（1）求抛物线的方程；
（2）设直线与圆和抛物线交于四个不同点，从左到右依次为，且是与抛物线的交点，若直线的倾斜角互补，求的值．

【推荐1】如图，已知抛物线C：的焦点F，过x轴上一点作两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，设和所在直线交于点P．设M为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M点坐标可以为；②轴时，；③比M到y轴距离大1．

（1）抛物线C同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；
（2）判断并证明点P是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由．

【推荐2】已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且.
（1）求C的方程.
（2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上.

【推荐3】抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形对于抛物线给出如下三个条件：
 ①焦点为②准线为③与直线相交所得弦长为．
(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线的方程
(2)已知是中抛物线的阿基米德三角形，点是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点，若直线经过点，试判断点是否在一条定直线上如果是，求出定直线方程如果不是，请说明理由．

【推荐1】设抛物线的焦点为F，已知直线与抛物线C交于A，B两点(A，B两点分别在轴的上、下方)．
(1)求证：；
(2)已知弦长，试求：过A，B两点，且与直线相切的圆D的方程．

【推荐2】已知抛物线，其通径为4.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线焦点F作倾斜角为的直线l，使得直线l与抛物线交于P､Q两点，且满足弦长，求直线l的倾斜角的取值范围.

【推荐3】设点，曲线C上任意一点满足以线段FM为直径的圆与 轴相切.
（1）求曲线C的方程；
（2）设过点的直线与曲线C交于两点，问能否成等差数列？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由.

【推荐1】已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，.
（1）求抛物线的标准方程.
（2）已知直线交抛物线于点，且，证明：直线过定点.

【推荐2】已知点，直线，动点到点的距离等于它到直线的距离.
(1)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；
(2)点在曲线上，若点的坐标为，求的最小值；
(3)过作直线与曲线交于，两点（点在第一象限），若，求弦的长度.

【推荐3】已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过作直线与抛物线在第一象限的部分交于两点，其中在之间.直线与抛物线的另一个交点为.
（Ⅰ）求证：点与关于轴对称 ；
（Ⅱ）若的内切圆半径，求的值.