【推荐1】已知直线l₁: 过椭圆C: 的左焦点，且与抛物线M: 相切.
(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;
(2)直线l₂过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆的对称轴为坐标轴，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，以为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线与椭圆交于两点，且椭圆上存在点满足，求的值.

【推荐3】已知椭圆()的左右焦点分别为，为椭圆上位于轴同侧的两点，的周长为，的最大值为.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若，求四边形面积的取值范围.

【推荐1】已知抛物线C：焦点F的横坐标等于椭圆的离心率.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过(1，0)作直线l交抛物线C于A，B两点，判断原点与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.

【推荐2】已知为椭圆的一个焦点，过原点的直线与椭圆交于两点，且，的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若，过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.

【推荐3】已知点为椭圆上的任意一点（长轴的端点除外），、分别为左、右焦点，其中为常数．

（1）若点在椭圆的短轴端点位置时，为直角三角形，求椭圆的离心率．
（2）求证：直线为椭圆在点处的切线方程；
（3）过椭圆的右准线上任意一点作椭圆的两条切线，切点分别为．请判断直线是否经过定点？若经过定点，求出定点坐标，若不经过定点，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆的左焦点，上顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于不同两点，且线段的中点在圆上，求的值.

【推荐2】已知椭圆左顶点为，上顶点为，直线的斜率为．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）直线与椭圆交于两点，与轴交于点，以线段为对角线作正方形，若．
（i）求椭圆方程；
（ii）若点在直线上，且满足，求使得最长时，直线的方程．

【推荐3】已知过点的动直线l与椭圆交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D，使得的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆的左、右两个焦点分别为，离心率，短轴长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，若面积为，求直线的方程.

【推荐3】已知椭圆的焦距为2，且长轴长是短轴长的倍.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，点在轴非负半轴上，且点到坐标原点的距离为2，求取得最大值时的面积.