在线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，运用十分广泛．回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．一般来说，线性回归都可以通过最小二乘法求出其方程，可以计算出对于
的直线．残差是真实值和预测值间的差值，对于一组数据
，其残差可以表示为
其中
为真实值，
为估计值对于我们数据中的每个点如此计算一遍，再将所有的
相加，就能量化出拟合的直线和实际之间的误差．其公式为：
．这个公式是残差平方和，对于回归直线的确定，普通最小二乘法给出的判断标准是：残差平方和的值达到最小．在数学中，处理多个参数的函数的极值时，我们可以采用偏导法，即单独对某个参数求导，将其他参数视为常数．根据以上信息，请推导公式：
，
，（其中
，
）
的直线．残差是真实值和预测值间的差值，对于一组数据，其残差可以表示为其中为真实值，为估计值对于我们数据中的每个点如此计算一遍，再将所有的相加，就能量化出拟合的直线和实际之间的误差．其公式为：．这个公式是残差平方和，对于回归直线的确定，普通最小二乘法给出的判断标准是：残差平方和的值达到最小．在数学中，处理多个参数的函数的极值时，我们可以采用偏导法，即单独对某个参数求导，将其他参数视为常数．根据以上信息，请推导公式：，，（其中，）
更新时间：2023-04-30 20:50:58
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
真题
【推荐1】已知
为正整数．
(1)设
，证明：
；
(2)设
，对任意
，证明：
．
为正整数．(1)设
，证明：；(2)设
，对任意，证明：．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐2】已知一次函数f(x)满足：f(1)=2, f(2x)=2f(x)-1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设
, 若
，求实数a的取值范围.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设
, 若，求实数a的取值范围.
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的长为
，直线PC与直线AO交于点M．又知当
时，点P的速度为
，求这时点M的速度．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】已知函数
.
(1)若
，
，讨论
的单调性；
(2)若
，
，
是的两个极值点，求
的最小值.
.(1)若
，，讨论的单调性；(2)若
，，是的两个极值点，求的最小值.
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】某综艺频道举行某个水上娱乐游戏，如图，固定在水面上点
处的某种设备产生水波圈，水波圈生产
秒时的半径
（单位：
）满足
；
是铺设在水面上的浮桥，浮桥的宽度忽略不计，浮桥两端
固定在水岸边.游戏规定：当点处刚产生水波圈时，游戏参与者（视为一个点）与此同时从浮桥的
端跑向
端；若该参与者通过浮桥的过程中，从点处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，则认定该参与者在这个游戏中过关；否则认定在这个游戏中不过关，已知
，
，浮桥的某个桥墩处点
到直线
的距离分别为
，且
，若某游戏参与者能以
的速度从浮桥端匀速跑到端.
（1）求该游戏参与者从浮桥端跑到端所需的时间？
（2）问该游戏参与者能否在这个游戏中过关？请说明理由.
处的某种设备产生水波圈，水波圈生产秒时的半径（单位：）满足；是铺设在水面上的浮桥，浮桥的宽度忽略不计，浮桥两端固定在水岸边.游戏规定：当点处刚产生水波圈时，游戏参与者（视为一个点）与此同时从浮桥的端跑向端；若该参与者通过浮桥的过程中，从点处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置，则认定该参与者在这个游戏中过关；否则认定在这个游戏中不过关，已知，，浮桥的某个桥墩处点到直线的距离分别为，且，若某游戏参与者能以的速度从浮桥端匀速跑到端.（1）求该游戏参与者从浮桥
端跑到端所需的时间？（2）问该游戏参与者能否在这个游戏中过关？请说明理由.
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解答题-应用题
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较难
(0.4)
名校
【推荐3】某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，每台仪器被每位专家评议为“可靠”的概率均为
，且每台仪器是否可靠相互独立．
（1）当
，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为
，求的分布列和数学期望；
（2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测．若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回厂返修．拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由．
，且每台仪器是否可靠相互独立．（1）当
，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列和数学期望；（2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测．若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回厂返修．拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．右图是2018-2022年移动物联网连接数W与年份代码t的散点图，其中年份2018-2022对应的t分别为1~5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型
（随机误差
）．请推导：当随机误差平方和Q＝
取得最小值时，参数b的最小二乘估计．
(ii)令变量
，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．
附：样本相关系数
，
，
，
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(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到0.01），并推断它们的相关程度；
(2)(i)假设变量x与变量Y的n对观测数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，两个变量满足一元线性回归模型
（随机误差）．请推导：当随机误差平方和Q＝取得最小值时，参数b的最小二乘估计．(ii)令变量
，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型利用(i)中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数
，，，，
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