【推荐1】已知圆心为的圆经过点三个点.
（1）求的面积；
（2）求圆的方程.

【推荐2】已知圆经过点，及.经过坐标原点的斜率为的直线与圆交于，两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)已知点，若的面积为，求的值.

【推荐3】如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．
   
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由．

【推荐1】如图，空间直角坐标系中，四棱锥的底面是边长为的正方形，底面OABC在xOy平面内，且抛物线Q：经过O、A、C三点．点B在y轴正半轴上，平面OABC，侧棱OP与底面所成角为．

(1)求m的值；
(2)若是抛物线Q上的动点，M是棱OP上的一个定点，它到平面OABC的距离为，写出M、N两点之间的距离，并求的最小值；
(3)是否存在一个实数，使得当取得最小值时，异面直线MN与OB互相垂直？请说明理由．

【推荐2】（1）抛物线的焦点在轴上且抛物线过点，求抛物线的标准方程；
（2）双曲线中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，又双曲线的实轴长为4，且一条渐近线为，求双曲线的标准方程.

【推荐3】已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且经过点，动直线不经过点、与相交于、两点，且直线和的斜率之积等于3.

(1)求的标准方程；
(2)证明：直线过定点，并求出定点坐标.

【推荐1】已知抛物线，为其焦点，，，三点都在抛物线上，且，直线，，的斜率分别为，，.求抛物线的方程，并证明:.

【推荐2】已知抛物线的焦点为，抛物线上存在一点到焦点的距离等于．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于，两点（，两点在轴上方），点关于轴的对称点为，且，求△的外接圆的方程．

【推荐3】已知抛物线的焦点到准线间的距离为2，且点抛物线C上．
(1)求m的值；
(2)若直线l与抛物线C交于A，B两点，且，于点D，，求DQ的最大值．

【推荐1】已知抛物线的焦点与椭圆Γ：的一个焦点重合，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于，两点．
(1)求抛物线的方程以及的值；
(2)记抛物线的准线与轴交于点，试问是否存在常数，使得且都成立？若存在，求出实数的值； 若不存在，请说明理由．

【推荐2】若椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若过的直线与抛物线交于、两点，又过、作抛物线的切线、，当时，求直线的方程．

【推荐3】已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点作斜率为的直线交抛物线于两点，弦的中点为，的垂直平分线与轴交于点.
（1）求的取值范围；
（2）求证：；
（3）能否成为以为底的等腰三角形？若能，求出的值，若不能，请说明理由.