【推荐1】已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
（1）   求椭圆的方程；
（2） 设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值

【推荐2】已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为，上下顶点分别为，四边形的面积为，
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别交直线于两点，判断是否为定值，并说明理由．

【推荐3】已知抛物线的焦点为，且过点，椭圆的离心率为，点为抛物线与椭圆的一个公共点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆内一点的直线的斜率为，且与椭圆交于两点，设直线，（为坐标原点）的斜率分别为，，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围.

【推荐1】已知椭圆的焦距为，左、右顶点分别为，上顶点为B，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交于点Q，与直线相交于点P，与y轴相交于点M，且．求k的值．

【推荐2】已知椭圆：的左、右焦点分别为、，上顶点为M，过点M且斜率为的直线与椭圆交于另一点N，过原点的直线与椭圆交于P、Q两点.
(1)求周长；
(2)是否存在这样的直线，使椭圆中与直线平行的弦的中点都在上?若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由；
(3)若直线与线段相交，且四边形的面积，求直线的斜率的取值范围.

【推荐3】如图，曲线C由上半椭圆和部分抛物线连接而成，与的公共点为A，B，其中的离心率为.

(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与，分别交于点P，Q（均异于点A，B），是否存在直线l，使得以为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐1】如图，椭圆的中心为原点，长轴在轴上，离心率，过左焦点作轴的垂线交椭圆于、两点，．

(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于轴的直线与椭圆相交于不同的两点、，过、作圆心为的圆，使椭圆上的其余点均在圆外．求的面积的最大值，并写出对应的圆的标准方程．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，且过点．抛物线的焦点坐标为.

(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)若点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，直线交椭圆于、两点．
（i）求证直线过定点，并求出该定点坐标；
（ii）当的面积取最大值时，求直线的方程．

【推荐3】已知椭圆的短轴长为，过下焦点且与轴平行的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若、分别为椭圆的右顶点与上顶点，直线与椭圆相交于、两点，求四边形的面积的最大值及此时的值.

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴长为6，且经过点，为左顶点，为下顶点，椭圆上的点在第一象限，交轴于点，交轴于点.
（1）求椭圆的标准方程
（2）若，求线段的长
（3）试问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由

【推荐2】已知椭圆的右焦点为，离心率．
（1）若为椭圆上一动点，证明到的距离与到直线的距离之比为定值，并求出该定值；
（2）设，过定点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴始终平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知椭圆和椭圆组合成的曲线如图1所示，根据图形特点，称曲线为“猫眼曲线”．特别地，若两个椭圆离心率相等，则称为“优美猫眼曲线”．

(1)已知“猫眼曲线”满足成等比数列，公比为，判断此时曲线是否为“优美猫眼曲线”．若曲线经过点，求出组成这个曲线的两个椭圆的标准方程．
(2)对于（1）中所求的“猫眼曲线”，作直线（斜率为，且）．
①若直线不经过原点O，且与组成的两个椭圆都相交，交椭圆所得弦的中点为， 交椭圆所得弦的中点为，如图1所示，是否为与无关的定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
②若直线的斜率与椭圆相切，交椭圆于两点，Q为椭圆上与不重合的任意一点，如图2所示，求面积的最大值．