【推荐1】如图，在多面体中，四边形是正方形，，，M是的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)若平面，，，点P为线段上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．

【推荐2】如图，为圆柱底面圆周上三个不同的点，分别为半圆柱的三条母线，且是的中点，分别为的中点.
   
(1)证明：平面.
(2)若是上的动点（含弧的端点），设为平面的一个法向量，求向量与夹角的余弦值的绝对值的最大值.

【推荐3】如图所示，在直角梯形中，，，，，，两点分别在线段，上运动，且.将三角形沿折起，使点到达的位置，且平面平面.

（1）判断直线与平面的位置关系并证明；
（2）证明：的长度最短时，，分别为和的中点；
（3）当的长度最短时，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值.

【推荐1】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马中，侧棱 底面，且 ，过棱的中点 ，作交 于点，连接

（Ⅰ）证明：．试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写
出结论）；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若面与面 所成二面角的大小为，求的值．

【推荐2】已知多边形是边长为2的正六边形，沿对角线将平面折起，使得.

（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由.

【推荐3】如图，四边形中，，，，为边的中点，现将 沿折起到达的位置（折起后点记为）．

（1）求证：；
（2）若为中点，当时，求二面角的余弦值．