【推荐1】已知椭圆的左､右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率，为坐标原点，过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点，，线段的中点为.
（1）求的标准方程；
（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；
（3）轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆：的长轴为双曲线的实轴，且椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)设点，是椭圆上异于点的两个不同的点，直线与的斜率均存在，分别记为，，若，试问直线是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点在椭圆上．

(1)求椭圆的方程；
(2)设是上的动点，且位于第一象限，在点处的切线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点．求证：点在定直线上，并求出直线的方程；
(3)若满足（2）的直线与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标．

【推荐1】椭圆的离心率是，过点作斜率为的直线，椭圆与直线交于两点，当直线垂直于轴时．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，是以为底边的等腰三角形，求的值．

【推荐2】已知椭圆（）的离心率为，点为任意一点．
（1）若点在上，点为的右焦点，且（为坐标原点）面积的最大值为，求的标准方程；
（2）若点在内，过点作两条直线分别与交于，和，，且，（）当变化时，试判断直线的斜率是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

【推荐3】如图，椭圆离心率为，椭圆的左右顶点分别为、，上顶点为. 点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上有一动点，连接和分别交轴于和，请问是否存在实数，使得.若存在，求出值，若不存在，说明理由.

【推荐1】已知椭圆：的右焦点为，短轴的两个端点分别为，（在轴上方）.

（1）求的面积；
（2）直线交椭圆于，两点，为的垂心，求直线的方程.
（3）已知，是过点的两条互相垂直的直线，直线与圆：相交于、两点，直线与椭圆相交于另一点，求面积的最大值.

【推荐2】如图，椭圆的左、右焦点分别为，，点A，B，C分别为椭圆的左、右顶点和上顶点，O为坐标原点，过点的直线l交椭圆于E，F两点，线段的中点为．点P是上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．

(1)求椭圆的方程；
(2)设的面积为，的面积为，求的值．

【推荐3】已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的长轴长为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l过点椭圆相交于A，B两点，当面积为时，求直线l的方程．

【推荐1】已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为.
(1)求椭圆的标准方程﹔
(2)设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围.

【推荐2】如图，中心为坐标原点O的两圆半径分别为，，射线OT与两圆分别交于A、B两点，分别过A、B作垂直于x轴、y轴的直线、，交于点P．

（1）当射线OT绕点O旋转时，求P点的轨迹E的方程；
（2）直线l：与曲线E交于M、N两点，两圆上共有6个点到直线l的距离为时，求的取值范围．

【推荐3】已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从，上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：

	3	-2	4
		0	-4

（1）求的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围.