【推荐1】已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，若以为直径的圆过原点，求直线方程．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于，两点．
(1)求椭圆的方程及焦点坐标；
(2)若线段的垂直平分线经过点，求的取值范围．

【推荐3】已知椭圆C：经过点，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C右焦点的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x＝4于点D．设直线QA，QD，QB的斜率分别为，，，若，证明：为定值．

【推荐2】已知点是椭圆的左顶点，椭圆的离心率为，
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线交椭圆于两点，点在椭圆上，，且，证明：.

【推荐3】已知点在椭圆C：上，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为，求的面积.

【推荐1】已知为圆上一动点，在轴，轴上的射影分别为点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，判断以为直径的圆是否过定点？求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆C：1（a＞b＞0）,椭圆上的点到焦点的最小距离为且过点P（,1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点M（3,0）的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q,若点P关于x轴的对称点为P',判断直线P'Q是否经过定点,如果经过,求出该定点坐标；如果不经过,说明理由．

【推荐3】已知圆，圆的弦过点，连接，，过点且与平行的直线与交于点，记点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于，两点，试探究是否存在定点，使得为定值.

【推荐1】在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的方程为，抛物线的焦点为，上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③MN的方程为.
(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求出抛物线的标准方程；
(2)设直线与相交于A，B两点，线段AB的中点为，且与相切于点，与直线交于点，以PQ为直径的圆与直线交于Q，E两点，求证：O，G，E三点共线.

【推荐2】已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中，，．如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆”与，轴的交点，

（1）若三角形是边长为的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若，求的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦．是否存在实数，使得斜率为的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线l与椭圆C交于P，Q两点，且点M满足.
（1）若点，求直线的方程；
（2）若直线l过点且不与x轴重合，过点M作垂直于l的直线与y轴交于点，求实数t的取值范围.