【推荐1】如图，已知点P为椭圆的上顶点.椭圆以椭圆的长轴为短轴，且与椭圆有相同的离心率.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点P作斜率分别为，的两条直线，，直线与椭圆，分别交于点A，B，直线与椭圆，分别交于点C，D.
（i）当时，求；
（ii）若A，C两点关于坐标原点O对称，求.

【推荐2】已知离心率为的椭圆：的右顶点为，左焦点为，点为平面内一点，到直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，分别为椭圆上第一、三象限内的点，且，若时，求的面积．

【推荐3】已知椭圆的焦点为和，且椭圆经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，则在轴上是否存在定点，使得的值为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.

【推荐2】已知椭圆的左、右两个焦点为，离心率为，又抛物线与椭圆有公共焦点．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）设直线经过椭圆的左焦点且与抛物线交于不同两点P、Q且满足，求实数的取值范围．

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，且满足______，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴.现有如下两个条件分别为：
条件①；椭圆过点，条件②：椭圆的离心率为
请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答.
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点.试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【推荐1】设点A，B的坐标分别为，，直线相交于点，且它们的斜率之积为．
(1)求的轨迹方程；
(2)若点，点为椭圆上任意一点，求的面积的最大值．

【推荐2】已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，、是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于、的动点，且面积的最大值为12．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：当点，在椭圆上运动时，直线与圆恒有两个交点，并求直线被圆所截得的弦长的取值范围．

【推荐3】已知椭圆经过点，左焦点为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若是椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求的面积.

【推荐1】如图，设椭圆：()，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程.

【推荐2】设AB为过椭圆中心的弦，为焦点，求的最大面积．

【推荐3】已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆经过点和点.
（1）求的方程；
（2）已知，点在上，关于轴、坐标原点的对称点分别为、，垂直于轴，垂足为，直线与轴、分别交于点、，直线交于点，直线的斜率为，直线的斜率.
①将表示为的函数；
②求直线斜率的最小值.