【推荐1】动点M与定点的距离和M到定直线的距离之比是常数.
(1)求动点M的轨迹G的方程；
(2)设O为原点，点，过点A的直线l与M的轨迹G交于P、Q两点，且直线l与x轴不重合，直线分别与y轴交于R、S两点，求证：为定值.

【推荐2】在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动，.记点P的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）经过点(0，1)作直线与曲线E相交于A，B两点，，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积．

【推荐3】定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆.

(1)如图，已知为上的动点，延长至点，使得的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为曲线，求的方程；
(2)在条件（1）下，已知椭圆是椭圆的相似椭圆，是椭圆的左､右顶点.点是上异于四个顶点的任意一点，当（为曲线的离心率）时，设直线与椭圆交于点，直线与椭圆交于点，求的值.

【推荐1】已知，为椭圆C上两点，为椭圆C的左焦点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线与椭圆C有且仅有一个公共点，与直线交于点M，与直线交于点N，证明：．

【推荐2】已知椭圆过点．
(1)求C的标准方程；
(2)若过点且不与x轴垂直的直线与C交于两点，记C的上顶点为D，若，求证：．

【推荐3】已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为该椭圆上一点，
(I)求椭圆的方程．
(II)过点作直线l与椭圆c相交于点，若以为直径的圆经原点，求直线的方程

【推荐1】设椭圆的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求证：直线的斜率与直线MN的斜率之积为定值．

【推荐2】设分别为椭圆的左右两个焦点.
（1）若椭圆上的点到两点的距离之和等于4，写出椭圆的方程和焦点坐标；
（2）设点是（1)中所得椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：如果是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值，请给予证明.

【推荐3】已知点，，直线，的斜率乘积为，点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设斜率为的直线交轴于，交曲线于，两点，是否存在使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【推荐1】如图，已知圆，点，以线段为直径的圆内切于圆O，点的集合记为曲线.

(1)求曲线的方程；
(2)已知直线，，过点的直线与交于两点，与直线交于点，记的斜率分别为，问：是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.

【推荐2】已知椭圆的左焦点为，过点作一条斜率大于0的直线与交于不同的两点、，延长交于点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求证：点与点关于轴对称．

【推荐3】已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点和坐标原点，点为椭圆上异于的一动点，面积的最大值为.
(1)求的方程；
(2)过椭圆的右焦点的直线与交于两点，记的面积为，过线段的中点作直线的垂线，垂足为，设直线的斜率分别为.
①求的取值范围；
②求证：为定值.