【推荐1】如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”．过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N，当点N在点M的下方时，称点N为点M的“下辅助点”．已知椭圆上的点的下辅助点为（1，﹣1）．

（1）求椭圆E的方程；
（2）若△OMN的面积等于，求下辅助点N的坐标；
（3）已知直线l：x﹣my﹣t＝0与椭圆E交于不同的A，B两点，若椭圆E上存在点P，使得四边形OAPB是对边平行且相等的四边形．求直线l与坐标轴围成的三角形面积最小时的m²+t²的值．

【推荐2】已知椭圆的左､右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率，为坐标原点，过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点，，线段的中点为.
（1）求的标准方程；
（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；
（3）轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆：（），四点，，，中恰有三点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右顶点分别为，是椭圆上异于的动点，记直线斜率分别为.求证：为定值，并求的正切的最大值.

【推荐1】已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点作直线与交于，两点，连接直线，分别与直线交于，两点．若和的面积相等，求直线的方程．

【推荐2】已知椭圆的左，右顶点分别为，，离心率为，点是上异于左、右顶点的一点，且面积的最大值为．
(1)求的方程；
(2)若的右焦点为，直线与直线交于一点，的角平分线与直线交于点，为坐标原点，试判断是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐3】已知离心率为的椭圆的顶点所构成的四边形的面积为，过右焦点且斜率不为零的直线交于，两点，为椭圆左顶点.
(1)求的方程；
(2)设，的斜率分别为，，证明：为定值.

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与到直线的距离之比为．
(1)求动点M轨迹W的方程；
(2)过点F的两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为P，Q．设直线AB，CD的斜率分别为，，且，试判断直线PQ是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

【推荐2】已知直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆交于不同两点，当直线分别与轴、轴垂直时，线段的长分别为2、4.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作轴的垂线交椭圆于点（异于点），直线与轴交于点，求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆的短轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆相交于，两点（，不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

【推荐1】设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程；
(3)已知直线斜率存在，若是椭圆经过原点的弦，且，求证：为定值．

【推荐2】已知，动点满足．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若，过的直线与交于两点，与直线交于点，记的斜率分别为，是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

【推荐3】设分别为椭圆的左右焦点，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60度，到直线l的距离为．
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果，求椭圆C的方程．