请阅读下列材料,并解决问题:
(1)已知平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数,则动点的轨迹方程为 (直接写出结果,无需过程).
(2)在(1)所求的曲线中是否存在一点,使得该点到直线的距离最小?最小距离是多少?
圆锥曲线的第二定义
二次曲线,即圆锥曲线,是由一平面截二次锥面得到的曲线,包括椭圆,抛物线,双曲线等.2000多年前,古希腊数学家最先开始研究二次曲线,并获得了大量的成果.古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究二次曲线.阿波罗尼斯曾把椭圆叫“亏曲线”把双曲线叫做“超曲线”,把抛物线叫做“齐曲线”,事实上,二次曲线由很多统一的定义、统一的二级结论等等.比如:平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数,则动点的轨迹就是圆锥曲线(这个圆锥曲线的第二定义).其中定点称为其焦点,定直线称为其准线(其中椭圆与双曲线的准线方程为,抛物线准线方程为),正常数称为其离心率.当时,轨迹为椭圆;当时,轨迹为抛物线;当时,轨迹为双曲线.(1)已知平面内的动点到一个定点的距离和到定直线的距离的比是常数,则动点的轨迹方程为 (直接写出结果,无需过程).
(2)在(1)所求的曲线中是否存在一点,使得该点到直线的距离最小?最小距离是多少?
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更新时间:2023-12-28 22:30:55
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【推荐1】已知抛物线:,直线过点.
(1)若与有且只有一个公共点,求直线的方程;
(2)若与交于,两点,点在线段上,且,求点的轨迹方程.
(1)若与有且只有一个公共点,求直线的方程;
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【推荐2】如图,已知抛物线,动点P在直线上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心G的轨迹方程.
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【推荐3】某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M,过点M且与OM成(即北偏西)的直线l在此处的一段为领海与公海的分界线(如图所示),在码头O北偏东方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船(可疑船)停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后,海警巡逻艇从O处即刻出发,按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截,假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速,将在P处恰好截获可疑船.
(1)如果O和A相距6海里,求可疑船被截获处的点P的轨迹;
(2)若要确保在领海内捕获可疑船(即P不能在公海上).则、之间的最大距离是多少海里?
(1)如果O和A相距6海里,求可疑船被截获处的点P的轨迹;
(2)若要确保在领海内捕获可疑船(即P不能在公海上).则、之间的最大距离是多少海里?
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【推荐1】已知椭圆的左焦点为,离心率为,直线被以椭圆的长轴为直径的圆截得的弦长为.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线与椭圆交于、两点且的斜率为,在线段上是否存在一点,使得,若存在,求实数的取值范围.若不存在,说明理由.
(1)求椭圆的方程;
(2)过的直线与椭圆交于、两点且的斜率为,在线段上是否存在一点,使得,若存在,求实数的取值范围.若不存在,说明理由.
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名校
解题方法
【推荐2】如图,椭圆:()的离心率为,直线:与只有一个公共点.
(1)求椭圆的方程.
(2)不经过原点的直线与平行且与交于,两点,记直线,的斜率分别为,,证明:为定值.
(1)求椭圆的方程.
(2)不经过原点的直线与平行且与交于,两点,记直线,的斜率分别为,,证明:为定值.
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【推荐1】椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴两端点为B1(0,﹣1)、B2(0,1),离心率e=,点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点,直线B1P和B2P分别与x轴相交于M,N两点,
(1)求椭圆的方程和的值;
(2)若点坐标为(1,0),过点的直线与椭圆相交于两点,试求面积的最大值.
(1)求椭圆的方程和的值;
(2)若点坐标为(1,0),过点的直线与椭圆相交于两点,试求面积的最大值.
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(0.65)
名校
【推荐2】已知椭圆:的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.、是椭圆的右顶点与上顶点,直线与椭圆相交于、两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当四边形面积取最大值时,求的值.
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(Ⅱ)当四边形面积取最大值时,求的值.
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真题
解题方法
【推荐1】已知一列椭圆.若椭圆上有一点,使到右准线的距离是与的等差中项,其中分别是的左、右焦点.
(1)试证:.
(2)取,并用表示 的面积,试证:且.
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【推荐2】已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍,记点P的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)已知斜率为k的直线l与曲线交于点为坐标原点,若,证明:为定值.
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