【推荐1】已知函数（）．（其中是自然对数的底数）
(1)若对任意的时，都有，求实数a的取值范围；
(2)若，求证：．（参考数据：，）

【推荐2】一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成，米，如图所示.小球从A点出发以的速度沿半圆O轨道匀速运动到某点E处，经弹射后，以的速度沿EO的方向匀速运动到BC上某点F处.设弧度，小球从A到F所需时间为T.

(1)试将T表示为的函数，并写出定义域；
(2)当满足什么条件时，时间T最短.

【推荐3】设为正整数，若两个项数都不小于的数列，满足：存在正数，当且时，都有，则称数列，是“接近的”.已知无穷等比数列满足，无穷数列的前项和为，，且，.
（1）求数列通项公式；
（2）求证：对任意正整数，数列，是“接近的”；
（3）给定正整数，数列，（其中）是“接近的”，求的最小值，并求出此时的（均用表示）.（参考数据：）

【推荐1】已知函数（且）.
(1)若函数的最小值为2，求的值；
(2)在（1）的条件下，若关于的方程有两个不同的实数根，且，求证：.

【推荐2】设函数，已知直线是曲线的一条切线.
(1)求的值，并讨论函数的单调性；
(2)若，其中，证明：.

【推荐3】已知函数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若在上有两个极值点、．
①求实数的取值范围；
②求证：．