【推荐1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为______．

【推荐2】在中，点在边上，，若边上的高与边上的高之比为，则__________.

【推荐3】已知，，分别为的三个内角，，的对边，，且，则面积的最大值为_______.

【推荐1】已知，是两个平面向量，且对任意，恒有，则的最大值是_________.

【推荐2】已知，且，则的最大值为_____．

【推荐3】已知直线与直线，若，则的最大值为__________.

【推荐1】已知某圆锥的侧面积为，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为____________．

【推荐2】已知圆锥的底面半径为3，侧面母线长为5，设该圆锥内半径最大的球的体积为，圆锥的体积为，则______.

【推荐3】如图，已知为圆的直径，为圆上一动点，圆所在平面，且，过点作平面，交分别于，则三棱锥外接球的表面积为__________；当三棱锥体积最大时，__________.

【推荐1】已知正三角形边长为2，将它沿高翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体的外接球的表面积为___________.

【推荐2】已知是表面积为的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为______．

【推荐3】传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱， 圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球， 、为圆柱上、下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，有以下三个命题：
①四面体体积的取值范围为；
②球的表面积是圆柱的表面积的；
③若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为．
其中所有正确的命题序号为___________.