【推荐1】已知椭圆：（）的上顶点为A，离心率为.抛物线：截x轴所得的线段长为的长半轴长.
(1)求椭圆的方程；
(2)过原点的直线l与相交于B，C两点，直线分别与相交于P，Q两点.
①证明：直线与直线的斜率之积为定值；
②记和的面积分别是，，求的最小值.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，以椭圆两个焦点与短轴的一个端点为顶点构成的三角形的面积为．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作直线l与椭圆C相切于点Q，且直线l斜率大于0，过线段PQ的中点R作直线交椭圆于A，B两点（点A，B不在y轴上），连结PA，PB，分别与椭圆交于点M，N，试判断直线MN的斜率是否为定值；若是，请求出该定值．

【推荐3】已知椭圆的左．右焦点分别为,短轴两个端点为,且四边形的边长为 的正方形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若,分别是椭圆长轴的左,右端点,动点满足,连结,交椭圆于点．证明: 的定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,试问轴上是否存在异于点,的定点,使得以为直径的圆恒过直线,的交点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由．

【推荐1】已知椭圆的两个顶点分别为、，焦点在轴上，离心率为，直线与椭圆交于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)当变化时，是否存在过点的定直线，使直线平分？若存在，求出该定直线的方程；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆：，过右焦点，且与长轴垂直的弦长为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的上顶点为，过左焦点的直线交椭圆于，两点（与椭圆顶点不重合），直线，分别交直线于，两点，求的面积的最小值.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，其短轴的下端点在抛物线的准线上.

（1）求椭圆的方程；
（2）设O为坐标原点，M是直线上的动点，为椭圆的右焦点，过点作的垂线与以为直径的圆相交于两点，与椭圆相交于A,B两点，如图所示.
①若 求圆的方程；
②设与四边形 的面积分别为，若 求的取值范围.

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知定点，若动点的坐标满足方程.
(1)试说明动点的轨迹是什么曲线，并求出该曲线的标准方程；
(2)设为曲线上的一个不在轴上的动点，过点作（为坐标原点）的平行线交曲线于两点，记的面积为，求的最大值.

【推荐2】已知椭圆：，其短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，动点，在上，记直线，的斜率分别为，，试问：是否存在常数，使得当时，的面积为定值?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知平面上一动点到定点的距离与它到直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设直线与曲线交于,两点，为坐标原点，若，求面积的最大值．

【推荐1】已知动圆过定点，且在轴上截得弦长为．设该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线方程；
（2）点为直线上任意一点，过作曲线的切线，切点分别为、，面积的最小值及此时点的坐标.

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，且的离心率为，抛物线，点在上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作的切线，若，直线与交于两点，求面积的最大值．

【推荐3】已知椭圆经过点，其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆相交于、两点，以线段、为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求到直线的距离的最小值.