在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆
的蒙日圆的面积为
，该椭圆的上顶点和下顶点分别为
，且
，设过点
的直线
与椭圆
交于
两点（不与两点重合）且直线
.
(1)证明：
，
的交点
在直线
上;
(2)求直线
围成的三角形面积的最小值.
的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，且，设过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）且直线.(1)证明：
，的交点在直线上;(2)求直线
围成的三角形面积的最小值.
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湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高三下学期适应考试（二）数学试题（已下线）重难点14 圆锥曲线必考压轴解答题全归类【十一大题型】（举一反三）（新高考专用）-2湘豫名校联考2024年2月高三第一次模拟考试数学试题
更新时间：2024-03-29 13:14:51
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐1】已知椭圆Γ：
的左､右焦点分别为
，
，点
在Γ上，动直线l交Γ于B，C两点，且与y轴交于点D.当直线l经过点时，四边形
的周长为8.
(1)求Γ的标准方程；
(2)若是
的垂心，求
.
的左､右焦点分别为，，点在Γ上，动直线l交Γ于B，C两点，且与y轴交于点D.当直线l经过点时，四边形的周长为8.(1)求Γ的标准方程；
(2)若
是的垂心，求.
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐2】已知椭圆
的右焦点为，过点且与
轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为
，且与短轴两端点的连线相互垂直.
（1）求椭圆
的方程；
（2）若圆
上存在两点
，
，椭圆上存在两个点
满足：
三点共线，
三点共线，且
，求四边形
面积的取值范围.
的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为，且与短轴两端点的连线相互垂直.（1）求椭圆
的方程；（2）若圆
上存在两点，，椭圆上存在两个点满足：三点共线，三点共线，且，求四边形面积的取值范围.
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的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为
.
的方程;
的直线
两点,点
为直径的圆内,求
的取值范围.
【推荐1】已知
为坐标原点，点
在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为
，且
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点
在椭圆上，原点为
的重心，证明：的面积为定值.
为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为，且.(1)求椭圆
的标准方程；(2)若点
在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值.
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解答题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐2】已知椭圆过点
，
为椭圆的半焦距，且
．
(1)求椭圆的方程．
(2)过点作两条互相垂直的直线，
，与椭圆分别交于另两点，．
①若直线的斜率为
，求
的面积．
②若线段
的中点在轴上，求直线的方程．
过点，为椭圆的半焦距，且．(1)求椭圆
的方程．(2)过点
作两条互相垂直的直线，，与椭圆分别交于另两点，．①若直线
的斜率为，求的面积．②若线段
的中点在轴上，求直线的方程．
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的方程为
.
，
，
，
，
，满足：
.记
的内切圆半径为
，求
解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
【推荐1】如图，已知过点
的椭圆
的离心率为
，左顶点和上顶点分别为A，B．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段OD延长线上一点，直线PA交椭圆于另一点E，直线PB交椭圆于另一点Q．
①求直线PA与PB的斜率之积；
②判断直线AB与EQ是否平行？并说明理由．
的椭圆的离心率为，左顶点和上顶点分别为A，B．（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段OD延长线上一点，直线PA交椭圆于另一点E，直线PB交椭圆于另一点Q．
①求直线PA与PB的斜率之积；
②判断直线AB与EQ是否平行？并说明理由．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
解题方法
【推荐2】已知椭圆的离心率为
，椭圆上的点与点
的距离的最大值为4.
(1)求的方程；
(2)设轴上的一定点
，过点
作直线
交椭圆于，
两点，若在上存在一点A，使得直线
的斜率与直线
的斜率之和为定值，求实数
的取值范围.
的离心率为，椭圆上的点与点的距离的最大值为4.(1)求
的方程；(2)设
轴上的一定点，过点作直线交椭圆于，两点，若在上存在一点A，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数的取值范围.
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交于
，
两个不同点，且
的面积
=
,其中
和
均为定值;
的最大值；
？若存在，判断
的形状；若不存在，请说明理由.
解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐1】已知抛物线
，
为抛物线
上的点，若直线经过点且斜率为
，则称直线为点的“特征直线”.设
、
为方程
（
）的两个实根，记
.
（1）求点
的“特征直线”的方程；
（2）已知点
在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线
经过二、四象限的渐近线垂直，且与
轴的交于点
，点
为线段
上的点.求证：
；
（3）已知、
是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点
，且与轴分别交于点、
.求证：点在线段
上的充要条件为
（其中
为点的横坐标）.
，为抛物线上的点，若直线经过点且斜率为，则称直线为点的“特征直线”.设、为方程（）的两个实根，记.（1）求点
的“特征直线”的方程；（2）已知点
在抛物线上，点的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐近线垂直，且与轴的交于点，点为线段上的点.求证：；（3）已知
、是抛物线上异于原点的两个不同的点，点、的“特征直线”分别为、，直线、相交于点，且与轴分别交于点、.求证：点在线段上的充要条件为（其中为点的横坐标）.
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐2】已知椭圆:
，
，
．椭圆内部的一点
，过点作直线
交椭圆于，作直线
交椭圆于．、是不同的两点．
(1)若椭圆的离心率是
，求
的值；
(2)设
的面积是
，
的面积是
，若
，
时，求的值；
(3)若点
，
满足
且
，则称点
在点
的左上方．求证：当
时，点在点的左上方．
:，，．椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点．(1)若椭圆
的离心率是，求的值；(2)设
的面积是，的面积是，若，时，求的值；(3)若点
，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方．
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐3】阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点与两定点，的距离之比
，
是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线
上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为
，定点分别为椭圆
的右焦点与右顶点
，且椭圆的离心率为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过右焦点斜率为
的直线与椭圆相交于
，（点在轴上方），点
，是椭圆上异于，的两点，
平分
，
平分
．
①求
的取值范围；
②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若
外接圆的面积为
，求直线的方程．
与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆
的标准方程；（2）如图，过右焦点
斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．①求
的取值范围；②将点
、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程．
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