【推荐1】已知，，，：，：.给出以下四个命题：
①分别过点，，作的不同于轴的切线，两切线相交于点，则点的轨迹为椭圆的一部分；
②若，相切于点，则点的轨迹恒在定圆上；
③若，相离，且，则与，都外切的圆的圆心在定椭圆上；
④若，相交，且，则与，一个内切一个外切的圆的圆心的轨迹为椭圆的一部分.
则以上命题正确的是__________.

【推荐2】已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，且为的内心，若成立，则的值为___________．

【推荐3】已知双曲线的方程为，其左右焦点分别为，已知点坐标为，双曲线上的点满足，设内切圆半径为，则_____________，_____________．

【推荐1】已知双曲线的离心率为2，左、右焦点分别为、，且到渐近线的距离为3，过的直线与双曲线C的右支交于、两点，和的内心分别为、，则的最小值为______.

【推荐2】已知双曲线的离心率为，焦距为，过双曲线的右焦点作斜率为1的直线，交于，两点，记为坐标原点，是上异于，的一点，且满足，则______．

【推荐3】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为______.
   

【推荐1】已知双曲线，，，是坐标原点，过点的直线交双曲线于，两点，若直线上存在点满足，则的最小值是___________.

【推荐2】已知双曲线的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交双曲线于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则双曲线的离心率______．

【推荐3】双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，过点直线与双曲线右支交于，两点，点是轴上一点，，，则双曲线的离心率为______．