【推荐1】如图，已知曲线，曲线的左右焦点是，且也是的焦点，点P是与的在第一象限内的公共点且，过的直线l分别与曲线、交于点A，B和M，N．

（1）求点P的坐标以及的方程；
（2）若与面积分别是、，求的取值范围．

【推荐2】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为1.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）是否存在与椭圆交于，两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由.
（3）若动直线与椭圆有且仅有一个公共点，试问：在轴上是否存在两定点，使其到直线的距离之积为3？若存在，求出两定点坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，P，Q是椭圆C上异于顶点的两点，O为坐标原点，记的面积为S，当点P与点Q关于x轴对称时，S的最大值为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线PQ与y轴的交点为，点，若直线AP，PQ，AQ的斜率成等比数列，求t的取值范围.

【推荐1】椭圆的左､右焦点分别为F₁､F₂，焦点F₁，F₂和原点O将椭圆C的长轴恰好四等分，点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过左焦点F₁的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P在x轴上且在焦点F₁的右侧，若始终保持线段AB的长度是线段PF₁的长度的4倍，证明：线段PA与线段PB的长度相等.

【推荐2】已知椭圆C：经过点，，分别为C的左、右焦点，P是C上的动点，的最小值为0．
(1)求C的标准方程．
(2)若过原点O的两条不同直线，与C分别交于点，和，，且点P到，的距离均为，判断是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

【推荐3】已知为坐标原点，圆，定点，点是圆上一动点，线段的垂直平分线交圆的半径于点，点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）已知点是曲线上但不在坐标轴上的任意一点，曲线与轴的交点分别为，直线和分别与轴相交于两点，请问线段长之积是否为定值？如果还请求出定值，如果不是请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点坐标为（-1,0），设过点的直线与相交于两点，求面积的最大值.

【推荐1】已知椭圆F：经过点且离心率为，直线和是分别过椭圆F的左、右焦点的两条动直线，它们与椭圆分别相交于点A、B和C、D，O为坐标原点，直线AB和直线CD相交于M．记直线的斜率分别为，且．
(1)求椭圆F的标准方程
(2)是否存在定点P，Q，使得为定值．若存在，请求出P、Q的坐标，若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆的对称中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐3】椭圆的左，右焦点分别为，与轴正半轴交于点，若为等腰直角三角形，且直线线被圆所截得的弦长为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于点，线段的中点为，射线与椭圆交于点，点为重心，探求面积是否为定值，若是求出这个值，若不是求的取值范围

【推荐1】已知，点在椭圆上，是椭圆的一个焦点.经过点的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，直线与交于点.

(1)当时，求直线的方程；
(2)当点异于点点，求.

【推荐2】已知点A是椭圆的上顶点，斜率为的直线交椭圆E于A、M两点，点N在椭圆E上，且；
（1）当时，求的面积；
（2）当时，求证：.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过垂直于x轴的直线被椭圆E所截得的线段长．
(1)求椭圆E的方程；
(2)直线与椭圆E交于A，B两点，直线交椭圆E于点C，若，求直线AC的方程．