【推荐1】在直角梯形.中，，分别为的中点，以为圆心，为半径的圆交于，点在上运动（如图）.若，其中，则的最大值是________.

【推荐2】锐角的内角所对边分别是且，若变化时，存在最大值，则正数的取值范围________.

【推荐3】若，则的取值范围是_________________.

【推荐1】意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为，并称其为双曲余弦函数．若对恒成立，则实数m的取值范围为______．

             

【推荐2】如图，在矩形中，，，点为的中点，将△沿翻折到△的位置，在翻折过程中，不在平面内时，记二面角的平面角为，则当最大时，的值为______．

【推荐3】在中，角所对的边为，若边上的高为，当取得最大值时，__________．

【推荐1】在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值为__________．

【推荐2】设是内的一点，且，，，则的最小值为_________.

【推荐3】已知内一点是其外心，，且，则的最大值为_____________．

【推荐1】已知圆，圆，直线分别过圆心，且与圆相交于两点，与圆相交于两点，点是椭圆上任意一点，则的最小值为___________；

【推荐2】若实数，满足，则的最大值为______．

【推荐3】若，则的最小值为___________.