【推荐1】椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆过点．

（1）求椭圆的方程；
（2）若，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一动点，设直线，分别交直线于点，，判断线段为直径的圆是否经过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由．

【推荐2】已知椭圆过和两点．
   
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左，右顶点分别为A，B，当动点M在定直线上运动时，直线AM，BM分别交椭圆于两点P和Q，求四边形面积的最大值．

【推荐3】已知椭圆经过，两点．
(1)求的方程；
(2)若圆的两条相互垂直的切线均不与坐标轴垂直，且直线分别与相交于点A，C和B，D，求四边形面积的最小值．

【推荐1】已知椭圆：的离心率为，点是椭圆短轴的一个四等分点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设过点A且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，且点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，求实数，使得，恒成立.

【推荐2】已知椭圆 的离心率为，其左、右焦点分别为，上顶点为，且的面积为.
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆交于两点，为坐标原点.试求当为何值时，使得恒为定值，并求出该定值.

【推荐3】已知椭圆的中心为，右顶点为，在线段上任意选定一点，过点作与轴垂直的直线交于两点.
（Ⅰ）若椭圆的长半轴为2，离心率，
（ⅰ）求椭圆的标准方程；
（ⅱ）若，点在的延长线上，且成等比数列，试证明直线与相切；
（Ⅱ）试猜想过椭圆上一点的切线方程的一种方法，再加以证明.

【推荐1】在平面直角坐标系 中，椭圆 的中心为坐标原点，左焦点为F₁（﹣1，0），离心率．
（1）求椭圆G 的标准方程；
（2）已知直线 与椭圆 交于 两点，直线 与椭圆 交于 两点，且 ，如图所示．

①证明： ；
②求四边形 的面积 的最大值．

【推荐2】如图，圆， 是圆M内一个定点，P是圆上任意一点，线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为曲线E

（1）求曲线E的方程；
（2）过点D(0，3)作直线m与曲线E交于A，B两点，点C满足 (O为原点)，求四边形OACB面积的最大值，并求此时直线m的方程；
（3）已知抛物线上，是否存在直线与曲线E交于G，H，使得G，H的中点F落在直线y=2x上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，上顶点为，的周长为点，异于两点且在上，直线，，的斜率分别为，，，且
(1)证明为定值
(2)求点到直线距离的最大值．

【推荐1】已知椭圆，点在C上，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设，A、B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆C于另一点E．证明：直线与x轴交于定点Q；
（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求的取值范围．

【推荐2】已知椭圆，其长轴长是焦距的2倍，短轴的一个端点到右顶点的距离为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，点，若，求的面积．

【推荐3】已知点为圆内一点，为圆上一动点，线段的垂直平分线与半径交于点，记点轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）若不经过原点的直线与曲线交于，两点，求面积的最大值.