【推荐1】已知椭圆的离心率为，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且与圆：交于E、F两点，求的取值范围．

【推荐2】如图所示，椭圆的左顶点和上顶点分别为A、B，为椭圆上一点，且．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段OD延长线上一点，直线PA交椭圆于另外一点E，直线PB交椭圆于另外一点F．
①求直线PA与PB的斜率之积；
②试判断和的面积之比是否为？说明理由．

【推荐3】设椭圆：，，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线，交于M，N两点，为坐标原点，记，的面积分别为，，求的最小值．

【推荐1】设分别是椭圆的左、右焦点，且椭圆的离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且垂直于的直线与椭圆交于两点，求四边形面积的最小值和最大值.

【推荐2】已知圆，椭圆（）的短轴长等于圆半径的倍，的离心率为．
（1）求的方程；
（2）若直线与交于两点，且与圆相切，证明：为直角三角形．

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过点的直线与椭圆相交于两点，且 的周长为8．
(1)求椭圆的方程；
(2)若经过原点的直线与椭圆相交于两点，且，试判断是否为定值？若为定值，试求出该定值；否则，请说明理由．

【推荐1】若椭圆的左右焦点分别为，线段被抛物线的焦点内分成了的两段.

（1）求椭圆的离心率；
（2）过点的直线交椭圆于不同两点，且，当的面积最大时，求直线和椭圆的方程.

【推荐2】在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率.
(1)求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；
(2)当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程.

【推荐3】设椭圆，定义椭圆的“相关圆”方程为.抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形.
（1）求椭圆的方程和“相关圆”的方程；
（2）过“相关圆”上任意一点作“相关圆”的切线与椭圆交于两点，为坐标原点.
（i）证明：为定值；
（ii）连接并延长交“相关圆”于点，求面积的取值范围.

【推荐1】已知椭圆：，其短轴为2，离心率为．

（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为0的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点、，在轴上是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知点在曲线上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知点在曲线上，点，在曲线上，若四边形为平行四边形，则其面积是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由