【推荐1】已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点O到直线的距离为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C上一点P作两条直线，分别与椭圆C相交于异于点P的点A，B，若四边形为平行四边形，探究四边形的面积是否为定值.若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

【推荐2】椭圆的离心率为，长轴长与短轴长之积为16.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与椭圆相切，求的取值范围.

【推荐3】如图，设抛物线的准线与轴交于，焦点为以，为焦点，离心率为的椭圆与抛物线在轴的上方的交点为.

（1）求点的坐标及线段的长；
（2）当时，过焦点的直线交抛物线于、两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且点在焦点的右侧，记，的面积分别为，.求的最大值及此时点的坐标.

【推荐1】椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.的最大值是，的最小值是，满足.
（1）求该椭圆的离心率；
（2）设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于，两点，是坐标原点.记的面积为，的面积为，求的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的左焦点为，离心率为，，是上的相异两点，．
(1)若点，关于原点对称，且，求的取值范围；
(2)若点，关于轴对称，直线交于另一点，直线与轴的交点的横坐标为1，过的直线交于，两点．已知，求的取值范围．

【推荐3】过椭圆的右焦点的直线与圆相切于点，并与椭圆交于不同的两点，若，证明：椭圆的离心率为.

【推荐1】已知椭圆:()的离心率为，，分别是它的左、右焦点，且存在直线，使，关于的对称点恰好是圆：（，）的一条直径的两个端点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与抛物线相交于A、两点，射线、与椭圆分别相交于、．试探究：是否存在数集，当且仅当时，总存在，使点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆过点，且焦距为2.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过点的直线与椭圆C交于不同的两点A,B，点，如果，求直线的方程.

【推荐3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上一点到点的距离的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值.