【推荐1】在直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，若圆的一条切线（斜率存在）与椭圆C有两个交点A，B，且.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求圆O的标准方程；
（3）已知椭圆C的上顶点为M，点N在圆O上，直线MN与椭圆C相交于另一点Q，且，求直线MN的方程.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知以点（）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线（）与圆C交于M，N两点，且点为线段的中点.
（1）求m的值和圆C的方程；
（2）若Q是直线上的动点，直线，分别切圆C于A，B两点，求证：直线恒过定点；
（3）若过点（）的直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的t，当的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t的代数式表示u，并求u的最大值.

【推荐3】在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴的交点都在圆上.
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于、两点，且以线段为直径的圆经过原点，求实数的值.

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)为椭圆上满足的面积为的任意两点，为线段的中点，射线交椭圆与点，设，求实数的值.

【推荐2】已知，椭圆的离心率为，直线与交于两点，长度的最大值为.
(1)求的方程；
(2)直线与轴的交点为，当直线变化(不与轴重合)时，若，求点的坐标.

【推荐3】设分别是椭圆的左，右焦点，两点分别是椭圆的上，下顶点，△是等腰直角三角形，延长交椭圆于点，且△的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上异于的动点，直线与直分别相交于两点，点，求证：△的外接圆恒过原点.

【推荐1】已知椭圆C：的右焦点F与抛物线E：的焦点相同，曲线C的离心率为，为E上一点且.
(1)求曲线C和曲线E的方程；
(2)若直线l：交曲线C于P､Q两点，交y轴于点R.
（i）求三角形POQ面积的最大值（其中O为坐标原点）.
（ii）若，求实数的取值范围.

【推荐2】设分别为椭圆的左､右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.如图，是椭圆上不重合的三个点，原点是的重心.

(1)求椭圆的方程；
(2)求点到直线的距离的最大值；
(3)判断的面积是否为定值，并说明理由.

【推荐3】已知椭圆C：（）和圆O：．C的焦距为，过C的右顶点作圆O的切线，切线长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆O的切线l与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值．

【推荐1】已知椭圆E：的右焦点为F，右顶点为A₁，设离心率为e，且满足，其中O为坐标原点.

（1）求椭圆E的方程；
（2）过右焦点F的直线与椭圆E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交直线AB于点C，交直线l：x＝2于点P，求的最小值.

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，，为椭圆上两点，圆.
（1）若轴，且满足直线与圆相切，求圆的方程；
（2）若圆的半径为2，点，满足，求直线被圆截得弦长的最大值.