【推荐1】已知数列满足，其中.
(1)若，求数列的前n项的和；
(2)若，且数列满足：，证明：.
(3)当，时，令，判断对任意，，是否为正整数，请说明理由.

【推荐3】已知在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列中，，，．
(1)求的通项公式；
(2)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(3)设，求数列的前项的和．

【推荐1】已知数列满足.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明；
（Ⅲ）证明：.

【推荐2】对于函数f（x），若存在x₀∈R，使成立，则称为f（x）的不动点．如果函数有且仅有两个不动点0，2，且．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）已知数列{a_n}各项不为零且不为1，满足，求证：；
（3）设，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₂﹣1＜＜T₂₀₁₁．

【推荐3】已知函数，，，，2，．
（1）设为等差数列，且前两项和，求的值；
（2）若，证明：．

【推荐1】设数列的首项为1，前n项和为，若对任意的，均有（k是常数且）成立，则称数列为“数列”．
（1）若数列为“数列”，求数列的通项公式；
（2）是否存在数列既是“数列”，也是“数列”？若存在，求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值，若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”；
（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．

【推荐1】定义：若无穷数列满足是公比为的等比数列，则称数列为“数列”.设数列中，.
(1)若，且数列为“数列”，求数列的通项公式；
(2)若数列是“数列”，是否存在正整数，使得,若存在，请求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知，无穷数列中，．记前n项的和为构造数列：．
（1）若为单调递减数列，直接写出数列的通项公式：
（2）若，且存在使得，求证：存在，使得．

【推荐3】已知正项数列的前项和为，数列满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：对任意正整数，都有成立；
（3）数列满足，它的前项和为，若存在正整数，使得不等式成立，求实数的取值范围．