【推荐1】已知函数，无穷数列满足.
（1）若，求；
（2）若，且，成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由.

【推荐2】等差数列的前项和为，数列满足：，，当时，，且，，成等比数列，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求证：数列中的项都在数列中；
（3）将数列、的项按照：当为奇数时，放在前面：当为偶数时，放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：，，，，，，…这个新数列的前和为，试求的表达式.

【推荐3】设函数，．
(1)若函数上的一点，求在点处的切线方程；
(2)①已知m， n为实数，，求证：；
②设，．当时，判断，，是否能构成等差数列，并说明理由．

【推荐1】记为数列的前n项和，为数列的前n项和，已知．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和．

【推荐2】冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验次.
方式二：混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验，若不是阳性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪几份为阳性，就要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为.
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为.现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）若，试求关于的函数关系式；
（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正实数，满足且都有成立.
（ⅰ）求证：数列为等比数列；
（ⅱ）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求的最大值.
（，）

【推荐3】设，对于项数为的有穷数列，令为中最大值，称数列为的“创新数列”．例如数列3，5，4，7的创新数列为3，5，5，7．
考查自然数的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列．
（1）若，写出创新数列为3，4，4，4的所有数列；
（2）是否存在数列的创新数列为等比数列？若存在，求出符合条件的创新数列；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出满足所有条件的数列的个数；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知正项数列的前项和为，对任意，点都在函数的图象上．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）已知数列满足，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．

【推荐2】数列的前n项和为，且（）
（1）若数列不是等比数列，求；
（2）若，在和（）中插入k个数构成一个新数列：，1，，3，5，，7，9，11，，…，插入的所有数依次构成首项为1，公差为2的等差数列，求的前50项和．