【推荐1】已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是，，以为圆心、3为半径的圆与以为圆心、1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交椭圆于A，B两点，点D为椭圆上一点，且四边形OADB为平行四边形，求的面积．

【推荐2】．本小题满分15分）
如图，已知椭圆E：，焦点为、，双曲线 的顶点是该椭圆的焦点，设是双曲线上异于顶点的任一点，直线、与椭圆的交点分别为和，已知三角形的周长等于，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为.

（1）求椭圆与双曲线的方程；
（2）设直线、的斜率分别为和，探求
和的关系；
（3）是否存在常数，使得恒成立？
若存在，试求出的值；若不存在， 请说明理由．

【推荐3】已知椭圆的左顶点为，右焦点为点是椭圆上一动点，当点为椭圆的上顶点时，的面积为且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过点F，且与平行，过两点作的垂线，垂足分别为当矩形的面积为时，求直线的方程.

【推荐1】已知离心率为的椭圆过点．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率为2直线与椭圆相交于，两点，求的长；
（3）过点的直线与椭圆相交于，两点，求的面积的最大值．

【推荐2】已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程及的大小.

【推荐3】已知椭圆的焦距为，离心率为，圆，是椭圆的左右顶点，是圆的任意一条直径，面积的最大值为2.
（1）求椭圆及圆的方程；
（2）若为圆的任意一条切线，与椭圆交于两点，求的取值范围.

【推荐1】如图，椭圆的左、右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆C上．
   
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．

【推荐2】已知椭圆的离心率为，长轴,短轴,四边形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
过椭圆的右焦点的直线交椭圆于,直线．
①证明：，并求直线的方程； ②证明：以为直径的圆过右焦点．

【推荐3】已知圆,点为平面内一动点，以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程；
(Ⅱ)是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得，若存在，请求出定点，若不存在，请说明理由.

【推荐1】如图，椭圆离心率为，椭圆的左右顶点分别为、，上顶点为. 点在椭圆上.

(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上有一动点，连接和分别交轴于和，请问是否存在实数，使得.若存在，求出值，若不存在，说明理由.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，且．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线l与E自右向左依次交于点A，B，点Q在线段AB上，且，求证：为定值．