1 . 如图所示，在中，，，是的中位线，是边上一点，，是线段上的一个动点，连接，相交于点．若是直角三角形，则的长是__________ ．

2 . 【观察猜想】（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为 ___________；
【类比探究】（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图3，在中，，D，E在上，，若的面积为12，，请直接写出的面积．

3 . 如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．
   
(1)求证：；
(2)求的长．

4 . 如图，中，，点是边上一点，且，点是延长线上一点，且，点在上，且．

   

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求四边形的周长；
(3)过点作交于点，判断和的大小关系并说明理由．

5 . 如图，在中，，以为直径作分别交于两点，点为延长线上一点，连结，若．
   
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求半径．

6 . 如图，在矩形和矩形中，，，连接交于点，

(1)求的值；
(2)求的度数．

7 . 艳阳高照时，遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意图为）用立柱固定在地面上的点O处，此时垂直于地面，遮阳伞顶点A与P重合．需要遮阳时，向上调节遮阳伞立柱上的滑动调节点，打开支架，伞面撑开如图②，其中，为动中点，，根据生活经验，当太阳光线与伞口垂直时，遮阳效果最佳．（图中的虚线就是太阳光线，同一时刻的太阳光线是平行的）

(1)某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节点B，此时立柱与支梁夹角大小是_________度．
(2)如图④，正午时分，太阳光与地面的夹角约为，滑动调节点到，使遮阳效果最佳，此时对调节点B滑动的距离约为多少？
（，结果精确到）

8 . 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线经过点，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴与直线相交于点，连接，，判定的形状，并说明理由．

9 . 如图，经过的顶点，及的中点，且是的中点．
   
(1)求证：是直角三角形；
(2)若的半径为，求的值．