2 . 操作初探：
（1）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；再对折，使与重合，得到折痕，展平纸片，连接，与交于点，连接，．则的值为________；
猜想证明：
（2）如图2，将正方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；点在边上，连接，与交于点，连接，将绕点逆时针旋转，使点的对应点'落在对角线上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），试判断的形状，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，．当平分时，请证明．

3 . 在数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：

(1)【问题初探】如图1，在等腰中，，点在其内部，，，，求的长；
经过同学们的观察、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，探究三边之间的数量关系，…根据以上分析过程______．
(2)【类比分析】如图2，在等边中，点在其内部，且，，．求的度数．
(3)【拓展应用】①如图3，在中，，点在其内部，是等腰三角形，且．若，，求的长．
②如图4，在中，，，点为平面内一点，若，，请直接写出的值．

7 . 在学完有关中点的复习课后，陈老师带领同学们探究这样一道几何题：正方形和正方形共顶点A，连接，取的中点M，连接．试探究的形状．
以下是智慧小组的探究过程．
【特例探究】如图1，点G在边上．

小明认为此时是等腰直角三角形，并给出了如下证明思路：
从M是的中点入手，延长交于点N，如图2．

通过证明，得到，．
由于，，故________．
所以是________．
再结合M是的中点从而可得结论．
（1）横线处应填：________，________．
【类比探究】
（2）如图3，将正方形绕点A旋转，其他条件不变，在旋转过程中，试探究的形状是否发生变化，并就图3的情形说明理由．

【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，已知，，当点A，G，M在同一条直线上时，请直接写出线段的长．

8 . 【问题探究】
（1）如图①，点P是等边内一点，，，，则的度数为______；
【类比迁移】
（2）如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的长；
【拓展应用】
（3）如图③，某公园有一块矩形水池，米，米，为方便观赏游玩，工作人员计划在水池内P，Q两点处增加亭台，连接，且，怎样选择点P和点Q的位置，可以使最小？并求出的最小值．

10 . 综合与实践

主题任务		“我的校园我做主”草坪设计
入项探究环节	任务背景	学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九（2）班参加校园美化设计任务： 校园内有一块宽为31米，长为40米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路， 具体要求： （1）矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口； （2）两条小路必须设计成平行四边形；
	驱动任务一	九（2）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图1）： （1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系　　，　　；（请填“相等”或“不相等”）
深入探究	驱动任务二	验证猜想：各个实践小组用如表格进行研究： 方案 纵向小路面积 横向小路面积 纵横交叉面积 小路总面积 乙方案 甲方案 丙方案 （2）请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积：　              　；
驱动任务三	（3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为1170平方米．请计算两条小路的宽度是多少？
拓展探究	驱动任务四	为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究．若两条小路与矩形两组对边所夹锐角． （4）若时，用含的代数式拓表示四边形的边长； （5）若时，请用含的三角函数表示两条路重叠部分四边形的面积，并写出取值范围．