1 . 我们知道,四边形有两组对边,两组对角,两条对角线.已经研究了,如果四边形满足下列条件之一:①两组对边分别平行;②两组对边分别相等;③一组对边平行且相等;④对角线互相平分,那么这个四边形是平行四边形.由此,进一步探究
(1)如图①,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)命题:如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等,那么这个四边形是平行四边形.如果这个命题是真命题,请证明;否则,请画出一个反例示意图,并标明所满足的条件.
(3)命题:如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线,那么这个四边形是平行四边形.
①小明认为这是假命题,尝试画出反例.如图②,他先画出四边形ABCD的一条边AB,一条对角线BD.请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例.(保留作图痕迹,不写作法)
②小明进一步探索发现,在四边形ABCD中,AB=CD,对角线AC、BD相交于点O,且OB=OD,BD=8,∠AOB=60°,对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化,直接写出平行四边形ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围.
(1)如图①,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.求证:四边形ABCD是平行四边形.
(2)命题:如果四边形满足一组对边平行且另一组对边相等,那么这个四边形是平行四边形.如果这个命题是真命题,请证明;否则,请画出一个反例示意图,并标明所满足的条件.
(3)命题:如果四边形满足一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线,那么这个四边形是平行四边形.
①小明认为这是假命题,尝试画出反例.如图②,他先画出四边形ABCD的一条边AB,一条对角线BD.请你利用无刻度直尺和圆规在图②中画出反例.(保留作图痕迹,不写作法)
②小明进一步探索发现,在四边形ABCD中,AB=CD,对角线AC、BD相交于点O,且OB=OD,BD=8,∠AOB=60°,对于满足条件的平行四边形ABCD的个数随着AB长度的变化而变化,直接写出平行四边形ABCD的个数及对应的AB的长的取值范围.
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2022-08-19更新
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360次组卷
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4卷引用:江苏省南京市玄武区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题
江苏省南京市玄武区2021-2022学年八年级下学期期末数学试题(已下线)难点特训(一)和平行四边形有关的压轴大题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练(苏科版)江苏省南京市栖霞区南京师范大学附属中学仙林学校初中部2022-2023学年八年级下学期5月月考数学试题江苏省南京秦淮外国语学校2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题
2 . 如图,点P在直线y=x-1上,设过点P的直线交抛物线y=x2于A(a,a2),B(b,b2)两点,当满足PA=PB时,称点P为“优点”.
(1)当a+b=0时,求“优点”P的横坐标;
(2)若“优点”P的横坐标为3,求式子18a-9b的值;
(3)小安演算发现:直线y=x-1上的所有点都是“优点”,请判断小安发现是否正确?如果正确,说明理由;如果不正确,举出反例.
(1)当a+b=0时,求“优点”P的横坐标;
(2)若“优点”P的横坐标为3,求式子18a-9b的值;
(3)小安演算发现:直线y=x-1上的所有点都是“优点”,请判断小安发现是否正确?如果正确,说明理由;如果不正确,举出反例.
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2019-03-24更新
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298次组卷
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2卷引用:【市级联考】江苏省南通市海安市2019届九年级(上)期末数学试题
名校
3 . 在平面直角坐标系中,已知点和点,给出如下定义:以为边,按照逆时针方向排列A,B,C,D四个顶点,作正方形,则称正方形为点A,B的逆序正方形.例如,当,时,点A,B的逆序正方形如图1所示.
(1)图1中点C的坐标为__________;
(2)改变图1中的点A的位置,其余条件不变,则点C的_______坐标不变(填“横”或“纵”),它的值为__________;
(3)已知正方形为点A,B的逆序正方形.
①判断:结论“点C落在x轴上,则点D落在第一象限内”______(填“正确”或“错误”),若结论正确,请说明理由;若结论错误,请在图2中画出一个反例;
②的圆心为,半径为1.若,,且点C恰好落在上,直接写出t的取值范围.
(1)图1中点C的坐标为__________;
(2)改变图1中的点A的位置,其余条件不变,则点C的_______坐标不变(填“横”或“纵”),它的值为__________;
(3)已知正方形为点A,B的逆序正方形.
①判断:结论“点C落在x轴上,则点D落在第一象限内”______(填“正确”或“错误”),若结论正确,请说明理由;若结论错误,请在图2中画出一个反例;
②的圆心为,半径为1.若,,且点C恰好落在上,直接写出t的取值范围.
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解题方法
4 . 学完“探索三角形相似的条件”之后,小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件,以下是他们的思考,请你和他们一起完成探究过程.
【定义】四边成比例,且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形.
【初步思考】
(1)小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验,考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件.他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”,“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______.所以四边形相似的条件必须再添加条件,于是,可以从“四边成比例,且一角对应相等的两个四边形相似”,“三边成比例,且两角分别相等的两个四边形相似”,“两边成比例,且三角分别相等的两个四边形相似”来探究.
【深入探究】
(2)学习小组一致认为,“四边成比例,且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题,请结合图形完成证明.
已知:四边形和四边形中,,.
求证:四边形四边形.证明:
(3)对于“三边成比例,且两角分别相等的两个四边形相似”,学习小组得到如下的四个命题:
①“三边成比例,两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”;
②“三边成比例,两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”;
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”;
④“三边成比例,两对角分别相等的两个四边形相似”.
其中真命题是______.(填写所有真命题的序号)
(4)请你完成“两边成比例,且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程.
【定义】四边成比例,且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形.
【初步思考】
(1)小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验,考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件.他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”,“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______.所以四边形相似的条件必须再添加条件,于是,可以从“四边成比例,且一角对应相等的两个四边形相似”,“三边成比例,且两角分别相等的两个四边形相似”,“两边成比例,且三角分别相等的两个四边形相似”来探究.
【深入探究】
(2)学习小组一致认为,“四边成比例,且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题,请结合图形完成证明.
已知:四边形和四边形中,,.
求证:四边形四边形.证明:
(3)对于“三边成比例,且两角分别相等的两个四边形相似”,学习小组得到如下的四个命题:
①“三边成比例,两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”;
②“三边成比例,两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”;
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”;
④“三边成比例,两对角分别相等的两个四边形相似”.
其中真命题是______.(填写所有真命题的序号)
(4)请你完成“两边成比例,且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程.
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5 . 探究函数性质时,我们经历了列表、描点、连线画出函数图像,观察分析图像特征,概括函数性质的过程.结合已有的学习经验,请画出函数的图像并探究该函数的性质.
(1)列表,写出表中a,b的值:a=______,b=______;描点、连线,在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像.
(2)观察函数图像,判断下列关于函数性质的结论是否正确,在下面横线上填入“序号”或填入“无”,正确的是______,错误的是______.
①函数的图像关于y轴对称;
②当时,函数有最小值,最小值为;
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小.
(3)已知二次函数,请你写出表中c,d,e,f,g的值:c=______,d=______,e=______,f=______,g=______,并在所给的同一坐标系中画出函数的图像,结合你所画的函数图像,直接写出不等式的解集.
x | … | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | ||||
… | a | b | … | ||||||||
c | d | e | f | g |
(1)列表,写出表中a,b的值:a=______,b=______;描点、连线,在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图像.
(2)观察函数图像,判断下列关于函数性质的结论是否正确,在下面横线上填入“序号”或填入“无”,正确的是______,错误的是______.
①函数的图像关于y轴对称;
②当时,函数有最小值,最小值为;
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小.
(3)已知二次函数,请你写出表中c,d,e,f,g的值:c=______,d=______,e=______,f=______,g=______,并在所给的同一坐标系中画出函数的图像,结合你所画的函数图像,直接写出不等式的解集.
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6 . 定义,若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积,则称这个四边形为倍分四边形,这条对角线称为这个四边形的倍分线.如图①,在四边形中,若,则四边形为倍分四边形,为四边形的倍分线.(1)判断:若是真命题请在括号内打√,若是假命题请在括号内打×.
①平行四边形是倍分四边形( )
②梯形是倍分四边形( )
(2)如图①,倍分四边形中,是倍分线,若,,,求;
(3)如图②,中,以为直径的分别交、于点、,已知四边形是倍分四边形.
①求;
②连结,交于点,取中点,连结交于(如图③),若,求.
①平行四边形是倍分四边形( )
②梯形是倍分四边形( )
(2)如图①,倍分四边形中,是倍分线,若,,,求;
(3)如图②,中,以为直径的分别交、于点、,已知四边形是倍分四边形.
①求;
②连结,交于点,取中点,连结交于(如图③),若,求.
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2023-04-19更新
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348次组卷
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5卷引用:2023年浙江省宁波市海曙区中考一模数学试题
2023年浙江省宁波市海曙区中考一模数学试题(已下线)专题17 浙江省2023年一模试题重组卷-学易金卷:2023年中考数学一模试题分项汇编(浙江专用)(已下线)新东方2023年中考第一次模拟考试 海曙 数学2023年浙江省宁波市中考一模数学模拟试题2024年浙江省宁波市南三县(奉化区、宁海县、象山县)初中毕业生学业诊断性考试一模数学模拟试题
19-20八年级上·浙江·期中
7 . 已知,点P为其内部一点,连结,在中,如果存在一个三角形,其内角与的三个内角分别相等,那么就称点P为的等角点.
(1)判断以下两个命题是否为真命题,若为真命题,则在相应横线内写“真命题”反之,则写“假命题”.
①内角分别为的三角形存在等角点;_________命题;
②任意的三角形都存在等角点;___________命题;
(2)如图①,点P是的等角点,若,探究图①中之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图②,在中,,若的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点,直接写出三个内角的度数.
(1)判断以下两个命题是否为真命题,若为真命题,则在相应横线内写“真命题”反之,则写“假命题”.
①内角分别为的三角形存在等角点;_________命题;
②任意的三角形都存在等角点;___________命题;
(2)如图①,点P是的等角点,若,探究图①中之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图②,在中,,若的三个内角的角平分线的交点P是该三角形的等角点,直接写出三个内角的度数.
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8 . 定义:从三角形一个角的顶点引一条射线与对边相交,把这个角分成两个角,如果其中一个角与这条射线另一侧的原三角形的内角互余,那么这条射线上三角形顶点到对边交点的线段称为这个三角形的“交互线”.
(1)判断下列命题是真命题还是假命题?
①直角三角形的斜边上的高是它的交互线;
②若三角形的角平分线是它的交互线,则这个三角形是等腰三角形.
(2)如图1,已知为锐角的交互线.
①求证:过外接圆的圆心.
②若,交互线,的半径为16,求的长.
(3)如图2,已知,在中,,它的两条交互线相交于点,且求外接圆的面积(用含的代数式表示).
(1)判断下列命题是真命题还是假命题?
①直角三角形的斜边上的高是它的交互线;
②若三角形的角平分线是它的交互线,则这个三角形是等腰三角形.
(2)如图1,已知为锐角的交互线.
①求证:过外接圆的圆心.
②若,交互线,的半径为16,求的长.
(3)如图2,已知,在中,,它的两条交互线相交于点,且求外接圆的面积(用含的代数式表示).
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2021-05-10更新
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651次组卷
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6卷引用:2021年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷(4月份)
2021年浙江省宁波市慈溪市中考数学模拟试卷(4月份)(已下线)【新东方】【2021.6.16】【omo】【初三下】【数学00105】2021年江苏省南通市田家炳中学教育联合体第四次中考模拟考试浙江省宁波市鄞州蓝青学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试题(已下线)浙江九年级上学期期末【压轴60题专练】(九上+九下)-2022-2023学年九年级数学考试满分全攻略(浙教版)浙江省宁波市江北区实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
2020·江西南昌·三模
9 . 【概念建立】如图1,点D是中点,点E是中点,连接,则称为的中位线,则①;②.
【概念辨析】给出中位线的两个逆命题:
(ⅰ)若点E是的中点,,则点D是的中点;
(ⅱ)若点E是的中点,,则点D是的中点.
(1)判断这两个命题是真命题,还是假命题,若是真命题,则证明;若是假命题,则举例说明.
【解决问题】如图2,点P,Q,M,N分别是四边形各边的中点,
(2)求证:.
【综合运用】
(3)如图3,已知,,,点M、N分别是、的中点,求的长度.
(4)如图4,已知点P、Q分别是,的中点,且,求证:.
【概念辨析】给出中位线的两个逆命题:
(ⅰ)若点E是的中点,,则点D是的中点;
(ⅱ)若点E是的中点,,则点D是的中点.
(1)判断这两个命题是真命题,还是假命题,若是真命题,则证明;若是假命题,则举例说明.
【解决问题】如图2,点P,Q,M,N分别是四边形各边的中点,
(2)求证:.
【综合运用】
(3)如图3,已知,,,点M、N分别是、的中点,求的长度.
(4)如图4,已知点P、Q分别是,的中点,且,求证:.
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10 . 定义:如果将△ABC与△DEF各分割成两个三角形,且△ABC所分的两个三角形与△DEF所分的两个三角形分别对应相似,那么称△ABC与△DEF互为“近似三角形”,将每条分割线称为“近似分割线”.
(1)如图1,在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,∠A=30°,∠D=40°,请判断这两个三角形是否互为“近似三角形”?如果是,请直接在图1中画出一组分割线,并注明分割后所得两个小三角形锐角的度数;若不是,请说明理由.
(2)判断下列命题是真命题还是假命题,若是真命题,请在括号内打“√”;若是假命题,请在括号内打“×”.
①任意两个直角三角形都是互为“近似三角形” ;
②两个“近似三角形”只有唯一的“近似分割线” ;
③如果两个三角形中有一个角相等,那么这两个三角形一定是互为“近似三角形” .
(3)如图2,已知△ABC与△DEF中,∠A=∠D=15°,∠B=45°,∠E=60°,且BC=EF=,判断这两个三角形是否互为“近似三角形”?如果是,请在图2中画出不同位置的“近似分割线”,并直接分别写出“近似分割线”的和;如果不是,请说明理由.
(1)如图1,在Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,∠A=30°,∠D=40°,请判断这两个三角形是否互为“近似三角形”?如果是,请直接在图1中画出一组分割线,并注明分割后所得两个小三角形锐角的度数;若不是,请说明理由.
(2)判断下列命题是真命题还是假命题,若是真命题,请在括号内打“√”;若是假命题,请在括号内打“×”.
①任意两个直角三角形都是互为“近似三角形” ;
②两个“近似三角形”只有唯一的“近似分割线” ;
③如果两个三角形中有一个角相等,那么这两个三角形一定是互为“近似三角形” .
(3)如图2,已知△ABC与△DEF中,∠A=∠D=15°,∠B=45°,∠E=60°,且BC=EF=,判断这两个三角形是否互为“近似三角形”?如果是,请在图2中画出不同位置的“近似分割线”,并直接分别写出“近似分割线”的和;如果不是,请说明理由.
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