1 . 解题与遐想．
王小明：
这道题算出来面积刚好是
，太凑巧了吧．刚好是
，有种白算的感觉
赵丽华：
我把
和
换成
、
再算一遍，
的面积总是
！确实非常神奇了
数学刘老师：
大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？
霍佳：
刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？
拼图演绎
(1)将
分割放入矩形中（如左图），现在为了通过拼图能直接“看”出“”，请在右图中画出拼图后的个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注．
(2)尺规作图：如图，点
在线段
上，以为斜边求作一个，使它的内切圆与斜边相切于点．
（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
如图，的内切圆与斜边相切于点， ， ．求： 的面积． |
王小明：
这道题算出来面积刚好是
，太凑巧了吧．刚好是，有种白算的感觉赵丽华：
我把
和换成、再算一遍，的面积总是！确实非常神奇了数学刘老师：
大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？
霍佳：
刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？
拼图演绎
(1)将
分割放入矩形中（如左图），现在为了通过拼图能直接“看”出“”，请在右图中画出拼图后的个直角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注． (2)尺规作图：如图，点
在线段上，以为斜边求作一个，使它的内切圆与斜边相切于点．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
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2 . 下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．
已知：如图，钝角
．
求作：射线
，使
．
作法：
①在射线
上任取一点D；
②以点O为圆心，
长为半径作弧，交
于点E；
③分别以点D，E为圆心，大于
长为半径作弧，在内，两弧相交于点C；
④作射线
．则为所求作的射线．
(1)请根据作法，画出作图痕迹；
(2)完成下面的证明．
证明：连接
，由作图步骤②可知
______．
由作图步骤③可知
______．
∵
，
∴
（____________）（填推理的依据）．
∴．
已知：如图，钝角
． 求作：射线
，使．作法：
①在射线
上任取一点D；②以点O为圆心，
长为半径作弧，交于点E；③分别以点D，E为圆心，大于
长为半径作弧，在内，两弧相交于点C；④作射线
．则为所求作的射线．(1)请根据作法，画出作图痕迹；
(2)完成下面的证明．
证明：连接
，由作图步骤②可知______．由作图步骤③可知
______．∵
，∴
（____________）（填推理的依据）．∴
．
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3 . 已知点A，点B和直线l，在直线l上求作一点P，使
最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
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4 . 如图，已知中，
，尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在直线
上方求作一点D，使得
，其中
；
(2)在线段
上求作一点E，使得
，说明理由．
中，，尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）(1)在直线
上方求作一点D，使得，其中；(2)在线段
上求作一点E，使得，说明理由．
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5 . 已知：线段
，
．求作：，使得
，高
．
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
，．求作：，使得，高．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
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6 . 如图，已知平面上四个点
，请按要求完成下列问题：
(1)画直线
，射线，连接
；
(2)在射线上作点
，使得
（尺规作图，保留作图浪迹）；
(3)请在直线上确定一点
，使
最小，画出点，此画图依据是_____________．
，请按要求完成下列问题：(1)画直线
，射线，连接；(2)在射线
上作点，使得（尺规作图，保留作图浪迹）；(3)请在直线
上确定一点，使最小，画出点，此画图依据是_____________．
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7 . 【阅读理解】借助一些巧妙的工具，我们可以解决一些几何问题． 图
是一个平分角的仪器，其中
，
．
（1）如图
，将仪器放置在上，使点
与顶点
重合， ，
分别在边，上，沿
画一条射线
，交
于点．可得是
的平分线． 请说明理由．
（2）如图
，在（1）的条件下，过点作
于点，若
，
，的面积是
，求的长．
【拓展迁移】小明探究完角平分仪后将工具的原理迁移到尺规作图的原理，并思考利用尺规“三等分特殊角”的方法． 在“三等分角”的探索过程中，小明发现了许多利用尺规三等分特殊角的方法，利用尺规三等分
角的方法就是其中的一种，方法如下：①如图，在的边上取一点
；②以为边在上方作等边
，作射线；③作
的平分线
，作
的平分线
，则射线，将三等分．
【联系运用】（3）如图，
，利用材料中的方法，将三等分．（要求：尺规作图并保留作图痕迹 ，标明字母）．
是一个平分角的仪器，其中，．（1）如图
，将仪器放置在上，使点与顶点重合， ，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．可得是的平分线． 请说明理由．（2）如图
，在（1）的条件下，过点作于点，若，，的面积是，求的长．【拓展迁移】小明探究完角平分仪后将工具的原理迁移到尺规作图的原理，并思考利用尺规“三等分特殊角”的方法． 在“三等分角”的探索过程中，小明发现了许多利用尺规三等分特殊角的方法，利用尺规三等分
角的方法就是其中的一种，方法如下：①如图，在的边上取一点；②以为边在上方作等边，作射线；③作的平分线，作的平分线，则射线，将三等分．【联系运用】（3）如图
，，利用材料中的方法，将三等分．（要求：尺规作图并
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8 . 如图，已知．
(1)在边上找一点，使得点到，边的距离相等（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，若
，
，且
，求的长．
．(1)在
边上找一点，使得点到，边的距离相等（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；(2)在（1）的条件下，若
，，且，求的长．
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9 . 如图，已知弓形的弦长
，弓高
，（
，并经过圆心）．
(1)请利用尺规作图的方法找到圆心；（保留作图痕迹，不必写作法）
(2)求弓形所在
的半径的长．
，弓高，（，并经过圆心）． (1)请利用尺规作图的方法找到圆心
；（保留作图痕迹，不必写作法）(2)求弓形所在
的半径的长．
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10 . 如图1，是小飞制作的蝴蝶风筝，蝴蝶风筝的骨架图如图2所示，其中
，
，
，
．
(1)求的度数；
(2)尺规作图作出图2的对称轴
（只保留作图痕迹，不必写作法）．
，，，．(1)求
的度数；(2)尺规作图作出图2的对称轴
（只保留作图痕迹，不必写作法）．
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