1 . 几何说理填空：
已知：如图，在
中，点
在
上，连接
，点
、
分别在、
上，连接
，且满足
求证：
．
证明：
（已知）．
（_______________）．
（同角的补角相等），
（__________________________），
__________（__________________________），
又
（已知），
__________（_______________）．
（__________________________）．
（__________________________）
已知：如图，在
中，点在上，连接，点、分别在、上，连接，且满足求证：
．证明：
（已知）．（_______________）．（同角的补角相等），（__________________________），__________（__________________________），又
（已知），__________（_______________）．（__________________________）．（__________________________）
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2 . 如图，在正方形
中，E，F分别是，
上的点，且
．
(1)求证：
；(2)作
的平分线
交
的延长线于G，连接
．探究，
与的数量关系，并证明．
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3 . 如图，点A在y轴正半轴上，点D在点A下方的y轴上，点B在x轴正半轴上，
平分
与x轴交于点C．
(1)如图1，若
，求证：
；
(2)如图2，若点A的坐标为
，点E为
上一点，且
，求
的长；
(3)如图3，若
，过C作
于点F，点H为线段
上一动点，点G为线段
上一动点，在运动过程中，始终满足
，试判断
之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
平分与x轴交于点C．(1)如图1，若
，求证：；(2)如图2，若点A的坐标为
，点E为上一点，且，求的长；(3)如图3，若
，过C作于点F，点H为线段上一动点，点G为线段上一动点，在运动过程中，始终满足，试判断之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
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4 . 完成下面的推理填空
如图，、分别在和
上，
，
与
互余，
于
，求证：
∴
，（______）
∵，（已知）
∴（______）
（______）
∴
（______）
，（______）
又∵与互余（已知），
，
∴
，
∴
（______），（______）
∴．（______）
如图，
、分别在和上，，与互余，于，求证：
∴
，（______）∵
，（已知）∴（______）
（______）∴
（______），（______）又∵
与互余（已知），，∴
，∴
（______），（______）∴
．（______）
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名校
5 . 综合与实践
问题情境
在数学活动课上，同学们以直角三角形为背景进行探究性活动．如图1，在中，
，
于点D，平分
交于点F，交于点E．
（1）①智慧小组的同学发现
是等腰三角形，请你证明这一结论．
②如图2，在①的基础上同学们又进行了如下操作：过点F作
交于点M，作
，垂足为P，求证：
．
操作探究
（2）创新小组的同学在（1）②的基础上继续进行深入探究，发现
与
恒相等，请你思考此问题，并说明理由．
问题情境
在数学活动课上，同学们以直角三角形为背景进行探究性活动．如图1，在
中，，于点D，平分交于点F，交于点E．
（1）①智慧小组的同学发现
是等腰三角形，请你证明这一结论．②如图2，在①的基础上同学们又进行了如下操作：过点F作
交于点M，作，垂足为P，求证：．操作探究
（2）创新小组的同学在（1）②的基础上继续进行深入探究，发现
与恒相等，请你思考此问题，并说明理由．
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2024-03-28更新
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79次组卷
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3卷引用：江西省九江市瑞昌市第四中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题
6 . 如图：正方形中，直线
经过点D，与交于点E，
（1）用直尺和圆规作图：过点C作
的垂线l2，垂足为G，交于点F，（请保留作图痕迹，不要求写作图过程）
（2）同学们作图完成后，通过测量发现
，并且推理论证了该结论，请你根据他们的推理论证过程完成以下证明：
如图：已知正方形中，
分别是直线，直线
被一组对边截得的线段，当
时，求证：．
证明：∵正方形，
，
，
，
，
∴②，
，
在
和
中，
，③，
，
．
同学们进一步研究发现，一条直线被正方形的一组对边所截得的线段与另一条直线被正方形的另一组对边所截得的线段垂直时均具备此特征，请你依据题目中的相关描述，完成下列命题：两条直线分别被正方形的一组对边所截，若所截得的线段④．
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名校
7 . 我们规定，有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图：
，
，
回答下列问题：
(1)证明：
和
是兄弟三角形
(2)取
的中点
，连接
，试证明
．（小王同学根据要求的结论，想起老师上课讲的“中线倍长”的辅助线的构造方法）．
(3)求证：
．
，，回答下列问题： (1)证明：
和是兄弟三角形(2)取
的中点，连接，试证明．（小王同学根据要求的结论，想起老师上课讲的“中线倍长”的辅助线的构造方法）．(3)求证：
．
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8 . 如图，在
中，
，点D为内一点，且
，
(1)求证：
；
(2)
，E为
延长线上的一点，且
，
①求证：
平分
；
②若点M在上，且
，试证明
；
③若N为直线
上一点，且
为等腰三角形，直接写出
的度数．
中，，点D为内一点，且， (1)求证：
；(2)
，E为延长线上的一点，且，①求证：
平分；②若点M在
上，且，试证明；③若N为直线
上一点，且为等腰三角形，直接写出的度数．
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名校
9 . 在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空：
中，
，用直尺和圆规，作
的垂直平分线交于点，垂足为点
，连接
并延长，在射线上截取
，连接、．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：
．
证明：∵
垂直平分，
∴点是的中点．
∴
_____．
∵
，
∴四边形是平行四边形．
∵
_____，
∴四边形是_____．
∴_____．
∵
，
∴
_____．
中，，用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接并延长，在射线上截取，连接、．（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（1）问所作的图形中，求证：
．证明：∵
垂直平分，∴点
是的中点．∴
_____．∵
，∴四边形
是平行四边形．∵
_____，∴四边形
是_____．∴_____．
∵
，∴
_____．
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2024-01-14更新
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192次组卷
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4卷引用：重庆市九龙坡区育才中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
重庆市九龙坡区育才中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题重庆市九龙坡区2023-2024学年九年级上学期第二次名校联考数学试题（已下线）专题9.19 矩形（题型分类拓展）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）（已下线）中考重点01 尺规作图+补全证明过程（5题型+满分技巧+限时检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）
10 . 我们知道“等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合”，请判断命题“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”是不是真命题？并证明你的结论．（要求画图，写已知，求证以及相应的证明）
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