1 . 【发现问题】
由得，；如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号．
【提出问题】
若，，利用配方能否求出的最小值呢？
【分析问题】
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题：
（1）______；______．（用“＝”“＞”“＜”填空）
（2）当，式子的最小值为______；
【能力提升】
（3）当，则当______时，式子取到最大值；
（4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（5）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，、的面积分别是8和14，求四边形ABCD面积的最小值．

3 . 阅读下面的材料，并解答问题：
分式的最大值是多少？
解：，
因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4
根据上述方法，试求分式的最大值是______．

4 . 阅读下列材料：
材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：设x＋2＝t，则x＝t﹣2．
∴原式
∴
材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解，它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当a＞0，b＞0时，∵
∴当，即a＝b时，有最小值2．
根据以上阅读材料回答下列问题：
(1)将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为        ；
(2)已知分式的值为整数，求整数x的值；
(3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值及此时x的值．

5 . 阅读下面材料：
小雅这学期学习了轴对称的知识，知道像角、等腰三角形、正方形、圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，小雅发现像，，等代数式，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．她把这样的式子命名为交换对称式，她还发现像，等交换对称式都可以用，表示，例如：，．于是小雅把和称为基本交换对称式．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）代数式①，②，③，④，⑤中，属于交换对称式的是_____（填序号）；
（2）已知．
①_____，______（用含m，n的代数式表示）；
②若，，求交换对称式的值；
③若，判断交换对称式是有最小值还是最大值，并求出最值．

6 . 阅读下列材料：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： =1+ ．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如 ， ，…这样的分式是假分式；如 与 …这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和(差)的形式．
例如：将分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式．
方法1： = = =x-1-
方法2：由分母为x+3，可设x²+2x-5=(x+3)(x+a)+b(a，b为待确定的系数)
∵(x+3)(x+a)+b=x²+ax+3x+3a+b=x²+(a+3)x+(3a+b)
∴x²+2x-5=x²+(a+3)x+(3a+b)
对于任意x，上述等式均成立，
∴ ，解得
∴x²+2x-5=(x+3)(x-1)-2
∴ = = =x-1-
这样，分式 就被化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式．
【材料2】对于式子2+ ，由x²≥0知1+x²的最小值为1，所以 的最大值为3，
所以2+ 的最大值为5．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）分式 是________分式(填“真”或“假”)．       
（2）把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式：
① =________+________．
② =________+________．
（3）把分式 化成一个整式与一个真分式的和(差)的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．       
（4）当x的值变化时，求分式 的最大值．

7 . 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式的和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：
①______；②______；
(2)利用分离常数法，求分式的最大值．
(3)已知：，．
①当时，判断与的大小关系，并说明理由；
②设，若、均为非零整数，求的值．

8 . 阅读下列材料：
【材料1】假分数可以化为整数与真分数的和的形式，如．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；、…这样的分式是真分式．
假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式．如 ．请根据上述材料，回答下列回题：
(1)分式是__________分式．（填：“真”或“假”）
(2)把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
①__________________；②__________________．
(3)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求出当取何整数时，这个分式的值为整数．
(4)当的值变化时，求分式的最大值

10 . 一个四位正整数m＝1000a＋100b＋10c＋d，（，，，，且a，b，c，d为互不相等的整数），将百位与千位对调，并将这个四位数去掉十位，这样得到的三位数称为m的“变化数”，并记．例如m＝3581，则m的“变化数”，且．
(1)求；
(2)将m的千位数字与十位数字交换，百位数字和个位数字交换得到一个新的四位正整数n，n的“变化数”为，若，记，求P的最大值．