1 . 综合与探究
如图，已知，，，，为点关于的对称点，反比例函数的图象经过点．

(1)证明四边形为菱形；
(2)求此反比例函数的解析式；
(3)已知在的图象（）上有一点，轴正半轴上有一点，且四边形是平行四边形，求点的坐标．

2 . 如图，已知正比例函数和反比例函数的图象交于点

(1)求的值并直接写出两个函数图象的另一个交点的坐标；
(2)观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量的取值范围；
(3)若双曲线上点沿方向平移个单位长度得到点，判断四边形的形状并证明你的结论．

3 . 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，坐标轴交于A、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点）．
（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值；
（2）求△DOC的面积．
（3）双曲线上是否存在一点P，使得△POC和△POD全等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

4 . 如图，平面直角坐标系中矩形的一边在x轴上，B点的坐标为．双曲线交于点P，交于点Q．

（1）若P为边的中点，求双曲线的函数表达式及点Q的坐标；
（2）若双曲线和线段有公共点，求k的取值范围；
（3）连接，当存在时，是否总成立?若成立请证明，若不成立，请说明理由．

5 . 阅读下面的材料：
如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，，
（1）若，都有，则称是增函数；
（2）若，都有，则称是减函数．
例题：证明函数是减函数．
证明：设，
．
∵，
∴，．
∴．即．
∴．
∴函数是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：
已知函数，
，
（1）计算：　 　，　 　；
（2）猜想：函数是　 　函数（填“增”或“减”）；
（3）请仿照例题证明你的猜想．

6 . 如图①，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为，点C为反比例函数在第一象限内图象上的一动点，连接、、．
   
(1)求正比例函数和反比例函数的表达式；
(2)当时，求的值；
(3)如图②，当点C位于直线的右侧时，过点作轴，交直线与点，求证：．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为．反比例函数的图象交矩形的边、于D、E两点，连接．

(1)当点D是的中点时，______，点E的坐标为______；
(2)设点D的横坐标为m
①请用含m的代数式表示点E的坐标为______
②求证：

8 . 如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（6，4），反比例函数y＝（x＞0）的图象交矩形OABC的边BC，AB于D、E两点，连接DE，AC．

(1)当点D是BC的中点时，k＝　 　，点E的坐标为　 　；
(2)设点D的横坐标为m．
①请用含m的代数式表示点E的坐标，
②求证：．

10 . 如图，在矩形OABC中，OA＝3，AB＝4，反比例函数（k＞0）的图象与矩形两边AB、BC分别交于点D、点E，且BD＝2AD．

(1)求点D的坐标和k的值：
(2)求证：BE＝2CE；
(3)若点P是线段OC上的一个动点，是否存在点P，使∠APE＝90°？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由