1 . 尺规画图（截取用圆规，保留作图痕迹），并回答问题：
如图，已知平面上有四个村庄。用四个点A，B，C，D表示．

(1)连接，作直线；
(2)作射线，并在射线上找一点F使得；
(3)若要建一供电所O．向四个村庄供电．要使O建在BD上．且到A村庄与C村庄所用电线最短，则供电所O应建在何处，请画出供电所点O的位置，并说明这样建的理由是______．

2 . 在图中直线n上作出点C，使的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）

3 . 如图，已知直线l和直线l外三点A，B，C，请按下列要求作图：

(1)作射线AB；
(2)连接BC；
(3)在射线AB上取一点D，使AD＝AB＋2BC；（请用尺规作图，不写作法和结论）
(4)在直线l上确定一点E，使得AE＋CE最短．（请保留作图痕迹）

4 . 在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段BC=2，使用作图工具作∠BAC=30°，尝试操作后思考： （1）这样的点A唯一吗？ （2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），…．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为_______；
②△ABC面积的最大值为_______；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为A′，请你利用图1证明∠BA′C＞30°．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边长AB=，BC=5，点P在直线CD的左侧，且∠DPC=60°，求线段PB长的最小值为_______．

5 . 如图，在直角坐标系中，△的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题：
（1）画出△关于x轴的对称图形△．
（2）将△向左平移3个单位再向下平移2个单位得到△． 直接写出A₂、B₂、C₂的坐标；
（3）如图，在直线l上找一点M，使得的值最小．（保留作图痕迹）

6 . 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A₁B₁C₁，并写出A₁、B₁、C₁的坐标；
（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．

7 . 平面直角坐标系中，已知，，点，在轴上方，且四边形的面积为32，
（1）若四边形是菱形，求点的坐标．
（2）若四边形是平行四边形，如图1，点，分别为，的中点，且，求的值．
（3）若四边形是矩形，如图2，点为对角线上的动点，为边上的动点，求的最小值．

8 . 如图，
（1）一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？
（2）如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由．

9 . 如图，某部队在灯塔A的周围进行爆破作业，A的周围3千米内的水域为危险区域，有一渔船误入离A2千米的B处，为了尽快驶离危险区域，该船应沿哪条射线方向航行？（要求给予证明）
   

10 . 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．