2 . 问题提出

(1)如图①，在中，，，．若点是边上一点，则的最小值为       ；

问题探究

(2)如图②，在中，，，点是的中点．若点是边上一点，试求的最小值；

问题解决

(3)某市一湿地公园内有一条四边形型环湖路，如图③所示．已知米，米，，，．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要修一条由连接而成的步行景观道，其中，点分别在边，上．为了节省成本，要使所修的这条步行景观道最短，即的值最小，求此时，的长．（路面宽度忽略不计）

3 . 如图，在中，，，．的半径为1，点P是边上的动点，过点P作的一条切线，点D为切点，则线段长的最小值为______．

4 . 已知和均为等腰直角三角形，，，点为的中点，已知为直线上的一个动点，连接，则的最小值为_____．

5 . 如图，长方形中，，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕着点顺时针旋转到的位置，连接和，则的最小值为____________________．
   

6 . 问题发现：
（1）如图①，正方形的边长为2，对角线、相交于点，是上一点（点不与、重合），将射线绕点逆时针旋转，所得射线与交于点，则四边形的面积为 　 　．
问题探究：
（2）如图②，线段，为上一点，在上方作四边形，使，且，连接，则的最小值为 　 　．
问题解读：
（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山情物园，图③为青山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形中，，，米．其中、、为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便于观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求的最大值．
   

7 . 问题探究：将几何图形按照某种法则或规则变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换．旋转变换是几何变换的一种基本模型．经过旋转，往往能使图形的几何性质明白显现，题设和结论中的元素由分散变为集中，相互之间的关系清楚明了，从而将求解问题灵活转化．
问题提出：如图1，是边长为的等边三角形，为内部一点，连接、、，求的最小值．
问题解决：如图2，将绕点逆时针旋转至，连接、，记与交于点，易知，，由，，可知为等边三角形，有．故，因此，当、、、共线时，有最小值是______．
学以致用：如图3，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，求的最小值．
   

8 . 如图，矩形中，，，E是的中点，F是线段上一动点，P是的中点，连接，则线段的最小值为 ___________________．

   

9 . 如图，在中，，，，点在线段上，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接，当有最小值时，写出的值为__________.
   

10 . 如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点为线段的中点，点分别为线段上的动点，当值最小时，点的坐标为______．