1 . 如图，在中，，，，，三点共线，点在上，，，分别交于，两点．

(1)求证：；
(2)若．
①求证：；
②探究，与的数量关系，并证明．

2 . 中，，点D是边上的一个动点，连接并延长，过点B作交延长线于点F．
   
(1)如图1，若平分，，求的值；
(2)如图2，M是延长线上一点，连接，当平分时，试探究之间的数量关系并说明理由；
(3)如图3，连接，
①求证：；
②，，求的值．

3 . （1）如图1，中，延长到M，平分，延长到N，平分，交于点P，若．求证：；
（2）如图2，中，E是边上一点，F是边上一点，延长到M，平分，平分，交于点P，若，，．求证：；
（3）如图3，中，E是边上一点，F是边上一点，延长到G，平分，平分，交于点P，若，，，探究并直接写出α，β，θ之间的等量关系．

   

4 . 如图，点O是等边内一点，，．以C为顶点作等边三角形，连接、．

(1)求证：；
(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，是等腰三角形？

5 . 小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：

(1)【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：；
(2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数；
(3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线MN与的延长线交于点M，若，求的度数．

6 . 如图，点E是正方形内的一点，已知．
   
(1)若，，求的度数；
(2)请探究和的位置关系．

7 . 如图，已知：点分别在的边上，连接与交于点，．
   
(1)如图1，当都是的角平分线时，求的度数；
(2)如图2，当都是的高时，求的度数；
(3)如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由．

8 . 如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．

   

(1)求证：；
(2)如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点．
①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个；
②若，求的度数；
③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由．

9 . 阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”．如图1的四边形，这种形似飞镖的四边形，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上就是凹四边形，同学们通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即如图1，．
   
“智慧小组”通过互学证明了这个结论：
方法一：如图2，连接，则在中，，
即，
又：在中，，
∴，
即．
“创新小组”想出了另外一种方法
方法二：如图3，连接并延长至F，
∵和分别是和的一个外角，
……
……
任务：
(1)填空：“智慧小组”用的“方法一”主要依据的一个数学定理是______；
(2)根据“创新小组”用的“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分．

10 . 已知：AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°．

(1)如图1，若∠ABE＝65°，∠ACF＝75°，求∠BAC的度数．
(2)如图1，求证：EF＝2AD．
(3)如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，FC与EB交于点M，若点G为EF中点，且∠BAE＝60°，请探究∠GAF和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．